Matlab求解微分方程组及偏微分方程组Word文件下载.docx

1、求解器ODE类型特点说明ode45非刚性单步算法：4、5阶Runge-Kutta方程；累计截断误差大部分场合的首选算法ode232、3阶Runge-Kutta方程；使用于精度较低的情形ode113多步法：Adams算法；高低精度可达计算时间比ode45短ode23t适度刚性采用梯形算法适度刚性情形ode15s刚性Gears反向数值微分；精度中等若ode45失效时，可尝试使用ode23s单步法：2阶Rosebrock算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短ode23tb梯形算法；ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的解的Matlab常

2、用程序，其中：ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.ode45则采用龙格-库塔4阶算法，用5阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度.3在matlab命令窗口、程序或函数中创建局部函数时，可用内联函数inline，inline函数形式相当于编写M函数文件，但不需编写M-文件就可以描述出某种数学关系.调用inline函数，只能由一个matlab表达式组成，并且只能返回一个变量，不允许u,v这种向量形式.因而，任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合，都不能应用inline函数，inline函数的一般形式为：FunctionName=inline

3、（函数内容, 所有自变量列表）例如：（求解F（x）=x2*cos（a*x）-b ,a,b是标量；x是向量 ）在命令窗口输入:Fofx=inline（x .2*cos（a*x）-b , x,a,b）;g= Fofx（pi/3 pi/3.5,4,1）系统输出为：g=-1.5483 -1.7259注意：由于使用内联对象函数inline不需要另外建立m文件，所有使用比较方便，另外在使用ode45函数的时候，定义函数往往需要编辑一个m文件来单独定义，这样不便于管理文件，这里可以使用inline来定义函数.二实例介绍1.几个可以直接用Matlab求微分方程精确解的实例例1 求解微分方程程序：syms x

4、y; y=dsolve（Dy+2*x*y=x*exp（-x2）,x）例2 求微分方程在初始条件下的特解并画出解函数的图形. y=dsolve（x*Dy+y-exp（1）=0,y（1）=2*exp（1）,x）;ezplot（y）例 3 求解微分方程组在初始条件下的特解并画出解函数的图形.syms x y t x,y=dsolve（Dx+5*x+y=exp（t）,Dy-x-3*y=0x（0）=1y（0）=0t）simple（x）;simple（y）ezplot（x,y,0,1.3）;axis auto2.用ode23、ode45等求解非刚性标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的数值解（近似解）例

5、 4 求解微分方程初值问题的数值解，求解范围为区间0,0.5.fun=inline（-2*y+2*x2+2*xxy）;x,y=ode23（fun,0,0.5,1）;plot（x,y,o-例 5 求解微分方程的解，并画出解的图形.分析：这是一个二阶非线性方程，我们可以通过变换，将二阶方程化为一阶方程组求解.令，则编写M-文件vdp.mfunction fy=vdp（t,x）fy=x（2）;7*（1-x（1）2）*x（2）-x（1）;end在Matlab命令窗口编写程序y0=1;0t,x=ode45（vdp,0,40,y0）;或t,x=ode45（vdp,0,40,y0）;y=x（:,1）;dy=

6、x（:,2）;plot（t,y,t,dy）练习与思考：M-文件vdp.m改写成inline函数程序？3.用Euler折线法求解Euler折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题化成一个代数（差分）方程，主要步骤是用差商替代微商，于是记从而于是例 6 用Euler折线法求解微分方程初值问题的数值解（步长取0.4），求解范围为区间0,2.本问题的差分方程为 clear f=sym（y+2*x/y2 a=0; b=2; h=0.4; n=（b-a）/h+1; x=0; y=1; szj=x,y;%数值解 for i=1:n-1 y=y+h*subs（f,x,y）;%subs，替换函数 x=x+h;

7、szj=szj;x,y; endszj plot（szj（:,1）,szj（:,2）替换函数subs例如：输入subs（a+b,a,4） 意思就是把a用4替换掉，返回 4+b，也可以替换多个变量，例如：subs（cos（a）+sin（b）,a,b,sym（alpha）,2）分别用字符alpha替换a和2替换b，返回 cos（alpha）+sin（2）特别说明：本问题可进一步利用四阶Runge-Kutta法求解，Euler折线法实际上就是一阶Runge-Kutta法，Runge-Kutta法的迭代公式为相应的Matlab程序为： l1=subs（f, 替换函数 l2=subs（f, ,x+h/2

8、,y+l1*h/2）; l3=subs（f, ,x+h/2,y+l2*h/2）; l4=subs（f, ,x+h,y+l3*h）; y=y+h*（l1+2*l2+2*l3+l4）/6;（1）ode45求解问题并比较差异.（2）利用Matlab求微分方程的解.（3）求解微分方程的特解.（4）利用Matlab求微分方程初值问题的解.提醒：尽可能多的考虑解法三微分方程转换为一阶显式微分方程组 Matlab微分方程解算器只能求解标准形式的一阶显式微分方程（组）问题，因此在使用ODE解算器之前，我们需要做的第一步，也是最重要的一步就是借助状态变量将微分方程（组）化成Matlab可接受的标准形式.当然，如

9、果ODEs由一个或多个高阶微分方程给出，则我们应先将它变换成一阶显式常微分方程组.下面我们以两个高阶微分方程组构成的ODEs为例介绍如何将它变换成一个一阶显式微分方程组.Step 1 将微分方程的最高阶变量移到等式左边，其它移到右边，并按阶次从低到高排列.形式为：Step 2 为每一阶微分式选择状态变量，最高阶除外ODEs中所有是因变量的最高阶次之和就是需要的状态变量的个数，最高阶的微分式不需要给它状态变量.Step 3 根据选用的状态变量，写出所有状态变量的一阶微分表达式（1）求解微分方程组其中（2）求解隐式微分方程组提示：使用符号计算函数solve求，然后利用求解微分方程的方法四偏微分方程

10、解法Matlab提供了两种方法解决PDE问题，一是使用pdepe函数，它可以求解一般的PDEs,具有较大的通用性，但只支持命令形式调用；二是使用PDE工具箱，可以求解特殊PDE问题，PDEtoll有较大的局限性，比如只能求解二阶PDE问题，并且不能解决片微分方程组，但是它提供了GUI界面，从复杂的编程中解脱出来，同时还可以通过FileSave As直接生成M代码.1.一般偏微分方程（组）的求解（1）Matlab提供的pdepe函数，可以直接求解一般偏微分方程（组），它的调用格式为：sol=pdepe（m,pdefun,pdeic,pdebc,x,t）pdefun是PDE的问题描述函数，它必须换

11、成标准形式：这样，PDE就可以编写入口函数：c,f,s=pdefun（x,t,u,du），m,x,t对应于式中相关参数，du是u的一阶导数，由给定的输入变量可表示出c,f,s这三个函数.pdebc是PDE的边界条件描述函数，它必须化为形式：于是边值条件可以编写函数描述为：pa,qa,pb,qb=pdebc（x,t,u,du）,其中a表示下边界，b表示上边界.pdeic是PDE的初值条件，必须化为形式：，故可以使用函数描述为：u0=pdeic（x）sol是一个三维数组，sol（:,:,i）表示的解，换句话说，对应x（i）和t（j）时的解为sol（i,j,k），通过sol，我们可以使用pdeval函数直接计算某个点的函数值.（2）实例说明求解偏微分其中，且满足初始条件及边界条件解：（1）对照给出的偏微分方程和pdepe函数求解的标准形式，原方程改写为可见%目标PDE函数funct