不等式的易错点以及典型例题Word文件下载.docx

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综上所述,原不等式的解集是……．

9.解含参数的不等式的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础，分类讨论是关键.”

10.对于不等式恒成立问题,常用的处理方式？

（转化为最值问题）

１1.在解决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：

先找约束条件，作出可行域,明确目标函数，其中关键就是要搞清目标函数的几何意义，找可行域时要注意把直线方程中的y的系数变为正值。

如：

求2<

5ａ-2b＜4,-３<

3a＋b＜3求a+ｂ的取值范围,但也可以不用线性规划。

11.不等式易错典型例题

（1）未等价转化致错

例题1:

已知,则2a+3b的取值范围是

A　ＢC　　D　　

错解:

对条件“”不是等价转化,解出a,ｂ的范围，再求2a＋3ｂ的范围，扩大了范围。

正解:

用待定系数法,解出2a+3b=（a+ｂ）（a-ｂ），求出结果为D。

或用线性规划法。

（2）含参函数未讨论致错

（3）是否取端点致错

（4）充分必要条件概念不清致错

例题4-1：

设成立的充分不必要条件是

A　　B　　　　C　　Dｘ＜-１

选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清。

正确答案为D。

（5）均值不等式应用不当致错:

一正二定三相等

①忽视条件正数

②忽视条件定值

③忽视条件取等号

例７－1若实数m，n,x,y满足m2+n2＝a,x2+y2=b（a≠b），则mx+ny的最大值为（）

　Ａ、　B、　　　C、　　D、

答案:

B

点评：

易误选Ａ，忽略运用基本不等式“=”成立的条件。

④多次使用忽视等号是否同时成立

例题８-1:

实数m，n,x,ｙ满足ｍ２+n２＝ａ2,　x2+y2＝b,则mx+ny的最大值是　　。

　　A、　　　B、　C、　　　D、

答案：

错解:

A

错因:

忽视基本不等式使用的条件,而用得出错解。

正解：

三角函数换元法

设m=.cosＡ，ｎ＝siｎA；

　x=.cｏsＢ,　y=sinB

则ｍx+ny=（.cosＡ）（．ｃosB）＋（．ｃosB）（sｉｎＢ）=.［sin（A-B）]

因此ｍx+ny的最大值是.

⑤用均值不等式时忽略实际情况

例题9:

数列{an}的通项式，则数列｛an}中的最大项是（）

　Ａ、第9项　　B、第8项和第9项

C、第10项　　　　　　　　Ｄ、第9项和第10项

答案:

D

易误选A，运用基本不等式，求,忽略定义域Ｎ*。

（６）综合应用中考虑不全致错

例题1０:

如果那么的取值范围是（）

A、　　B、　　C、　D、

正确答案:

利用真数大于零得x不等于6０度,从而正弦值就不等于,于是就选了Ｄ.其实x等于120度时可取得该值。

故选Ｂ。

（7）不会应用几何意义致错

例题11：

x为实数,不等式|x－３｜-|x－１|>

m恒成立，则m的取值范围是（）

A.m>

２ﻩB.m<

2ﻩﻩC.m>

－2ﻩﻩﻩD.m＜-2

正确答案：

D。

错误原因:

容易忽视绝对值的几何意义,用常规解法又容易出错。

（８）数形结合应用不当致错

例题1２：

f（ｘ）=︱２—1|，当a＜ｂ<

c时有f（ａ）>

f（c）>

f（b）则（　）　　　　　　　Aa＜０，b<

０,c＜０　　B　ａ＜０,b＞0,c＞0　　C　2<

2　D　2＜2　

　正确答案:

D错因:

学生不能应用数形结合的思想方法解题。

（９）换元后的取值范围不对致错

例１３:

已知,求的最大值和最小值。

错解一:

，

当时,取得最小值；

当时,取得最大值1；

错解二:

当时，取得最小值；

当时,取得最大值;

正解分析：

解法二忽略了范围限制，

应由　　　得:

。

12.线性规划典型题型

由已知条件写出约束条件,并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外,还有以下六类常见题型。

（1）求线性目标函数的取值范围

例1:

（一次函数型）若x、y满足约束条件，则z=x＋2y的取值范围是　（）

Ａ、[2,６]Ｂ、[２，５］C、[3，6]D、（3，5]

解：

如图,作出可行域，作直线l：

x+2ｙ＝0,将

l向右上方平移，过点A（２,0）时，有最小值

2，过点Ｂ（2,２）时,有最大值6，故选Ａ

拓展:

思考二次函数型、指数函数型、对数函数型等。

（2）求可行域的面积

例２：

不等式组表示的平面区域的面积为　　（）

　A、4　Ｂ、1　C、5　D、无穷大

解:

如图，作出可行域,△ＡBC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OＭＡC的面积即可，选B

例3:

在平面直角坐标系中,已知集合，则集合

表示的平面区域的面积为　10

例４:

在平面直角坐标系中，不等式组表示的区域为M，表示的区域为N，若，则M与N公共部分面积的最大值为

因为先根据题意中的条件画出约束条件所表示的图形，再结合图形求公共部分的面积为ｆ（ｔ）即可，

注意将公共部分的面积分解成两个图形面积之差,那么可知公共部分的面积为,借助于二次函数得到最大值

（3）求可行域中整点个数

例5:

满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）

A、９个　B、10个　C、13个D、１4个

|ｘ｜＋｜ｙ|≤2等价于

作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为１3个，选Ｄ

（4）求线性目标函数中参数的取值范围

例6：

已知x、y满足以下约束条件,使z=x＋ay（a>

0）取得最小值的最优解有无数个,则a的值为　　（）

　A、-3　B、3　C、－1　D、1

如图,作出可行域,作直线l：

x+ay=0，要使目标函数ｚ=x+aｙ（a＞0）取得最小值的最优解有无数个,则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合,故a＝1，选Ｄ

例7：

如图，目标函数z＝ax-y的可行域为四边形OＡＣＢ（含边界），若是该目标函数z＝ax－ｙ的最优解,则a的取值范围是（A　）

A．ﻩB.

Ｃ．ﻩD.

（5）距离平方型目标函数的最值

例８:

已知x、y满足以下约束条件　，则ｚ=x２+ｙ2的最大值和最小值分别是（　）

　A、１3,１　B、13，2　

C、1３,　　　Ｄ、，

如图,作出可行域,x２+y2是点（x，y）到原点的距离的平方,故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方,即｜AＯ｜2=１３，最小值为原点到直线2ｘ+y－2=0的距离的平方,即为,选C

（6）求约束条件中参数的取值范围

例9:

已知｜2x-y＋ｍ｜<

3表示的平面区域包含点（0,0）和（-1,1），则m的取值范围是（）

　Ａ、（－3,6）B、（0,６）　C、（０,3）D、（-３,3）

｜2ｘ－y＋m｜＜3等价于

由右图可知,故0＜ｍ＜3，选C

（7）比值问题（斜率型）

当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PＱ连线斜率的最值。

例10:

　已知变量x,y满足约束条件则　的取值范围是（　　）.

（Ａ）[，６]　　　　　　　　（B）（－∞，]∪[6,＋∞）

（C）（－∞,3］∪[6，+∞）　　（Ｄ）[3,6］

解析　是可行域内的点M（x,y）与原点O

（0,0）连线的斜率，当直线ＯM过点（,）时,取得

最小值;

当直线OM过点（1，６）时,取得最大值6.　答案A

例１1:

已知函数f（x）的定义域为［－３，＋∞），且f（６）＝2。

f′（ｘ）为f（x）的导函数,ｆ′（x）的图象如图所示。

若正数a,b满足ｆ（2a＋b）＜２，则的取值范围是（　　）

A.∪（3，+∞）　B.C．∪（3，＋∞）D.

如图所示：

函数ｆ（ｘ）在[-3,0）是减函数，（０，+∞）上是增函数，又∵f（2a＋b）<

２=f（6）。

因为已知a、b均为正数，∴2ａ+b>

０，２a＋ｂ＜6,画出平面区域令t=，表示过定点（2，-3）的直线的斜率,因此t∈（-∞,-）∪（3，＋∞）故选A

例１2:

已知满足，则的取值范围是