考拉兹猜想的一点思考文档格式.docx
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2=2，2÷
2=1。
得到4，2，1。
约定“4，2，1。
”前第1个奇数为N1（如5），第2个奇数为N2（如13），第3个奇数为N3（如17），一般地，“4，2，1。
”前第k个奇数为Nk，k=1，2，3，…
N1=（22n－1）÷
3
n=1，2，3，…
如5=（24－1）÷
3
当N1包含于{6h－5,6h－1}时，h=1，2，3，…
N2=（2aN1－1）÷
如13=（5×
23－1）÷
当N2包含于{6h－5,6h－1}时，
N3=（2bN2－1）÷
如17=（13×
22－1）÷
当N3包含于{6h－5,6h－1}时，
N4=（2cN3－1）÷
如11=（17×
2－1）÷
1、N1=（22n－1）÷
当n=1，2，3，4时，
N1=1，5，21，85。
5=1+22=4×
1+1=41+40
21=1+22+24=4×
5+1=42+41+40
85=1+22+24+26=4×
21+1=43+42+41+40
A、猜想：
当n＞1时，N1=（22n－1）÷
3=1+22+24+…22n－2
[证明]
（ⅰ）当n=2时，N1=（22×
3=1+22
（ⅱ）假设n=k时，N1=（22k－1）÷
3=1+22+24+…22k－2成立。
当n=k+1时，N1=[22（k+1）－1]÷
=（22k－1）÷
3+22k
=1+22+24+…22k－2+22（k+1）－2
综合（ⅰ）（ⅱ）所证：
3=1+22+24+…22n－2成立。
B、猜想：
设an=（22n－1）÷
3，当n＞1时，
则有an=4an－1+1=4n－1+4n－2+…40
（ⅰ）当n=2时，a2=（22×
3=5
a1=（22－1）÷
3=1
4a1+1=4×
1+1=5
a2=4a1+1=41+40
（ⅱ）假设n=k时，ak=4ak－1+1=4k－1+4k－2+…40成立。
当n=k+1时，ak+1=[22（k+1）－1]÷
=4（22k－1）÷
3+1
=4ak+1
=4（k+1）－1+4（k+1）－2+…40
当n＞1时，an=4an－1+1=4n－1+4n－2+…40成立。
2、当N1包含于{6h－5,6h－1}时，如N1=5
N2=（5×
22n－1－1）÷
N2=3，13，53，213。
13=3+5×
2=4×
3+1=3×
41+40
53=3+5×
2+5×
23=4×
13+1=3×
42+41+40
213=3+5×
23+5×
25=4×
53+1=3×
43+42+41+40
猜想且容易证明：
A、当n＞1时，N2=（5×
3=3+5×
23+…5×
22n－3
B、设an=（5×
则有an=4an－1+1=3×
4n－1+4n－2+…40
3、当N2包含于{6h－5,6h－1}时，如N2=13
N3=（13×
22n－1）÷
N3=17，69，277，1109。
69=17+13×
22=4×
17+1=17×
277=17+13×
22+13×
24=4×
69+1=17×
1109=17+13×
24+13×
26=4×
277+1=17×
A、当n＞1时，N3=（13×
=17+13×
24+…13×
22n－2
B、设an=（13×
则有an=4an－1+1=17×
4、当N3包含于{6h－5,6h－1}时，如N3=17
N4=（17×
N4=11，45，181，725。
45=11+17×
11+1=11×
181=11+17×
2+17×
45+1=11×
725=11+17×
23+17×
181+1=11×
A、当n＞1时，N4=（17×
=11+17×
23+…17×
B、设an=（17×
则有an=4an－1+1=11×
5、根据以上推理，猜想且容易证明：
A、当n=1时，
[（6M－5）22n－1]÷
3=8M－7
[（6M－1）22n－1－1]÷
3=4M－1
当n＞1时，
3=8M－7+（6M－5）22+（6M－5）24+…（6M－5）22n－2
3=4M－1+（6M－1）2+（6M－1）23+…（6M－1）22n－3
B、（ⅰ）设an=[（6M－5）22n－1]÷
则有an=4an－1+1=（8M－7）4n－1+4n－2+…40
（ⅱ）设an=[（6M－1）22n－1－1]÷
则有an=4an－1+1=（4M－1）4n－1+4n－2+…40
6、根据以上论证，可以得出这样的结论：
（1）“4，2，1。
”前的奇数Nk可以表示为：
8M－7或8M－7+（6M－5）22+（6M－5）24+…（6M－5）22n－2或4M－1或4M－1+（6M－1）2+（6M－1）23+…（6M－1）22n－3。
即Nk=8M－7，8M－7+（6M－5）22+（6M－5）24+…（6M－5）22n－2，4M－1，4M－1+（6M－1）2+（6M－1）23+…（6M－1）22n－3，但M还不能确定为全体正整数。
（2）“4，2，1。
”前的奇数Nk是从1和5开始，1按照[（6h－5）22n－1]÷
3=8h－7，8h－7+（6h－5）22+（6h－5）24+…（6h－5）22n－2（h=1，2，3，…）的公式得到1，1+22+24+…22n－2，5按照[（6h－1）22n－1－1]÷
3=4h－1，4h－1+（6h－1）2+（6h－1）23+…（6h－1）22n－3的公式得到3，3+5×
22n－3；
{1，1+22+24+…22n－2，3，3+5×
22n－3}包含于{6h－5,6h－1}的数分别按照[（6h－5）22n－1]÷
3=8h－7，8h－7+（6h－5）22+（6h－5）24+…（6h－5）22n－2，[（6h－1）22n－1－1]÷
3=4h－1，4h－1+（6h－1）2+（6h－1）23+…（6h－1）22n－3的公式得到相应的数……如此循环递推得到的。
1和5，见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，得到4，2，1。
那么，Nk见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，最后一定得到4，2，1。
（3）1，5，21，85，…
出现6a1－5，6b1－1，6c1－3；
6d1－5…的规律，3，13，53，213，…
出现6a2－3，6b2－5，6c2－1；
6d2－3…的规律，17，69，277，1109，…
11，45，181，725，…
出现6a3－1，6b3－3，6c3－5；
6d3－1…的规律。
二、[（1，1+22+24+…22k－2）3+1]÷
22n=1
[（3，3+5×
22n－3）3+1]÷
22n－1=5
[（17，17+13×
22n－2）3+1]÷
22n=13
[（11，11+17×
22n－1=17
……
{[8M－7，8M－7+（6M－5）22+（6M－5）24+…（6M－5）22n－2]3+1}÷
22n
=6M－5
{[4M－1，4M－1+（6M－1）2+（6M－1）23+…（6M－1）22n－3]3+1}÷
22n－1
=6M－1
要证明考拉兹猜想，必须证明当M为全体正整数时，Nk满足以下条件：
（1）Nk=6a1－5，6b1－1，6c1－3；
6d1－5，6e1－1，6f1－3；
…
或
=6a2－3，6b2－5，6c2－1；
6d2－3，6e2－5，6f2－1；
=6a3－1，6b3－3，6c3－5；
6d3－1，6e3－3，6f3－5；
…
（2）Nk包含自然数的全体奇数，且没有重复的数。
（3）当Nk≠1时，Nk见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，一定存在小于Nk的数。
1、证明：
当M为全体正整数时，
Nk=6a1－5，6b1－1，6c1－3；
[证明]
要证明所求，只需证：
A、8M－7，8M－7+（6M－5）22+…（6M－5）22n－2
=6xn－5，6yn－1，6zn－3。
B、4M－1，4M－1+（6M－1）2+…（6M－1）22n－3
=6Xn－5，6Yn－1，6Zn－3。
首先证明：
（1）当n=1时，
设M=3m－1，则4M－1=6×
2m－5=6X1－5
设M=3m，则4M－1=6×
2m－1=6Y1－1
设M=3m－2，则4M－1=6（2m－1）－3=6Z1－3
（2）当n=2时，
设M=3m－2，则（4M－1）41+40=6（8m－5）－5=6X2－5
设M=3m－1，则（4M－1）41+40=6（8m－3）－1=6Y2－1
设M=3m，则（4M－1）41+40=6×
8m－3=6Z2－3
（3）当n=3时，
设M=3m，则（4M－1）42+41+40=6（32m－1）－5=6X3－5
设M=3m－2，则（4M－1）42+41+40=6（32m－23）－1=6Y3－1
设M=3m－1，则（4M－1）42+41+40=6（32m－12）－3=6Z3－3
（4）猜想：
a、当n=3n1－2，M=3m－1，3m，3m－2时，
4M－1，4M－1+（6M－1）2+…（6M－1）22n－3
b、当n=3n1－1，M=3m－2，3m－1，3m时，
4M－1+（6M－1）2+…（6M－1）22n－3
c、当n=3n1，M=3m，3m－2，3m－1时，
证明猜想a：
（ⅰ）当n=3×
1－2=1，M=3m－1，3m，3m－2时，
4M－1=6X1－5，6Y1－1，6Z1－3。
当n=3n1－2＞1时，
4M－1+（6M－1）2+…（6M－1）22n－3=（4M－1）4n－1+4n－2+…40
当n=3×
2－2=4，M=3m－1，3m，3m－2时，
（4M－1）43+42+4
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