word完整版高中数学组卷数列高考题训练.docx

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高中数学组卷——数列高考题训练　

一．解答题（共15小题）

1．等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．

2．已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．

（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．

3．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）求{bn}的前n项和．

4．已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且﹣=，S6=63．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（﹣1）nb}的前2n项和．

5．设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．

6．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式

（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．

7．Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3

（I）求{an}的通项公式：

（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．

8．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．

9．已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=（an+1）•2，求数列{bn}的前n项和Tn．

10．已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列

（1）求q的值和{an}的通项公式；

（2）设bn=，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．

11．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1．

（1）求a4的值；

（2）证明：

{an+1﹣an}为等比数列；

（3）求数列{an}的通项公式．

12．数列{an}满足：

a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．

（1）求a3的值；

（2）求数列{an}的前n项和Tn；

（3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：

数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn．

13．已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：

对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．

14．数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*．

（Ⅰ）证明：

数列{}是等差数列；

（Ⅱ）设bn=3n•，求数列{bn}的前n项和Sn．

15．设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．

（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；

（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn．

一．解答题（共15小题）

1．等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．

【解答】解：

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，

∵a3+a4=4，a5+a7=6．

∴，

解得：

，

∴an=；

（Ⅱ）∵bn=[an]，

∴b1=b2=b3=1，

b4=b5=2，

b6=b7=b8=3，

b9=b10=4．

故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．

2．已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．

（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．

【解答】解：

（Ⅰ）Sn=3n2+8n，

∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，

n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；

∵an=bn+bn+1，

∴an﹣1=bn﹣1+bn，

∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．

∴2d=6，

∴d=3，

∵a1=b1+b2，

∴11=2b1+3，

∴b1=4，

∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；

（Ⅱ）cn========6（n+1）•2n，

∴Tn=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，

∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，

①﹣②可得

﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]

=12+6×﹣6（n+1）•2n+1

=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，

∴Tn=3n•2n+2．

3．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）求{bn}的前n项和．

【解答】解：

（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn．

当n=1时，a1b2+b2=b1．

∵b1=1，b2=，

∴a1=2，

又∵{an}是公差为3的等差数列，

∴an=3n﹣1，

（Ⅱ）由（I）知：

（3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn．

即3bn+1=bn．

即数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，

∴{bn}的前n项和Sn==（1﹣3﹣n）=﹣．

4．已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且﹣=，S6=63．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（﹣1）nb}的前2n项和．

【解答】解：

（1）设{an}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，

解得q=2或q=﹣1．

若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，

∴S6==63，∴a1=1．

∴an=2n﹣1．

（2）∵bn是log2an和log2an+1的等差中项，

∴bn=（log2an+log2an+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．

∴bn+1﹣bn=1．

∴{bn}是以为首项，以1为公差的等差数列．

设{（﹣1）nbn2}的前2n项和为Tn，则

Tn=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）

=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n

==

=2n2．

5．设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．

【解答】解：

（Ⅰ）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，

当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，

此时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1，

所以an=．

（Ⅱ）因为anbn=log3an，所以b1=，

当n＞1时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，

所以T1=b1=；

当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），

所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），

两式相减得：

2Tn=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n﹣1）×31﹣n=﹣，

所以Tn=﹣，经检验，n=1时也适合，

综上可得Tn=﹣．

6．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式

（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．

【解答】解：

（1）设a1=a，由题意可得，

解得，或，

当时，an=2n﹣1，bn=2n﹣1；

当时，an=（2n+79），bn=9•；

（2）当d＞1时，由

（1）知an=2n﹣1，bn=2n﹣1，

∴cn==，

∴Tn=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，

∴Tn=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，

∴Tn=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，

∴Tn=6﹣．

7．Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3

（I）求{an}的通项公式：

（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．

【解答】解：

（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3

两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）=4an+1，

即2（an+1+an）=an+12﹣an2=（an+1+an）（an+1﹣an），

∵an＞0，∴an+1﹣an=2，

∵a12+2a1=4a1+3，

∴a1=﹣1（舍）或a1=3，

则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列，

∴{an}的通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1：

（Ⅱ）∵an=2n+1，

∴bn===（﹣），

∴数列{bn}的前n项和Tn=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．

8．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．

【解答】解：

（1）∵数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．

∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．

解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），

解得q=2，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1；

（2）Sn==2n﹣1，

∴bn===﹣，

∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+﹣=﹣=1﹣．

9．已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=（an+1）•2，求数列{bn}的前n项和Tn．

【解答】解：

（1）设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，则a1＞0，

∴an=a1+（n﹣1）d，an+1=a1+nd，

令cn=，

则cn==[﹣]，

∴c1+c2+…+cn﹣1+cn=[﹣+﹣+…+﹣]

=[﹣]

=

=，

又∵数列{}的前n项和为，

∴，

∴a1=1或﹣1（舍），d=2，

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；

（2）由

（1）知bn=（an+1）•2=（2n﹣1+1）•22n﹣1=n•4n，

∴Tn=b1+b2+…+bn=1•41+2•42+…+n•4n，

∴4Tn=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，

两式相减，得﹣3Tn=41+42+…+4n﹣n•4n+1=•4n+1﹣，

∴Tn=．

10．已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=