初三数学知识点总结加经典例题讲解.docx
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初三数学知识点总结加经典例题讲解
初三数学上册期末总复习（经典例题）
第一章、图形与证明
（二）
（一）、知识框架
（二）知识详解
2．1、等腰三角形的判定、性质及推论
性质：
等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
推论：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）
2．2、等边三角形的性质及判定定理
性质定理：
等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
2．3、线段的垂直平分线
（1）线段垂直平分线的性质及判定
性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
2．4、角平分线
（1）角平分线的性质及判定定理
性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：
在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
（2）三角形三条角平分线的性质定理
性质：
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作出角平分线
2．5、直角三角形
（1）勾股定理及其逆定理
定理：
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（2）直角三角形全等的判定定理
定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）
2.6、几种特殊四边形的性质
2.7.几种特殊四边形的判定方法
2.8、三角形的中位线：
⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
区别三角形的中位线与三角形的中线。
⑵三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
2.9、梯形的中位线：
⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：
中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。
⑵梯形中位线的性质
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
（三）典型例题
例题1、下列命题正确的个数是
①如果一个三角形有两个内角相等，则此三角形是轴对称图形；②等腰钝角三角形是轴对称图形；③有一个角是30°角的直角三角形时轴对称图形；④有一个内角是30°，一个内角为120°的三角形是轴对称图形
A、1个B、2个C、3个D、4个
答案：
C
解析：
①两个内角相等，根据“等角对等边”知此三角形是等腰三角形，④根据三角形的内角和为180°，判断出此三角形是等腰三角形，所以①②④都是等腰三角形，是轴对称图形，故①②④正确，故选C。
例题2、下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是
A、两边之和大于第三边B、有一个角平分线垂直于这个角的对边
C、有两个锐角的和等于90°D、内角和等于180°
答案：
B
解析：
A、D是任何三角形都必须满足的，C项直角三角形的两个锐角的和等于90°，等腰三角形不一定具有，B项等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，直角三角形不具有这个性质，故选B。
例题3、等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则等腰三角形的面积为。
答案：
12
解析：
根据等腰三角形的性质，底边上的高垂直平分底边，所以由勾股定理得到底边的高为，所以等腰三角形的面积为，故填12。
例题4、在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：
CF＝（）
A．1：
2B．1：
3C．2：
3D．2：
5
【答案】A
例题5、在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明；
（2）若，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若，FG∥CE，，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
【答案】
（1）证明：
如图1．
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F．
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF
（2）∠BDG=45°
（3）解：
分别连结GB、GE、GC（如图3）
∵AB∥DC，∠ABC=120°
∴∠ECF=∠ABC=120°
∵FG∥CE且FG=CE．
∴四边形CEGF是平行四边形．
由
（1）得CE=CF，
平行四边形CEGF是菱形．
∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=∠ECF=60°
∴△ECG是等边三角形
∴EG=CG，①
∠GEC=∠EGC=60°
∴∠GEC=∠GCF．∴∠BEG=∠DCG．②
由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
在平行四边形ABCD中，AB=DC．
∴BE=DC．③
由①②③得△BEG≌△DCG．
∴BG=DG．∠1=∠2．∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°
∴∠BDG==60°．
例题6、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）
A．7B．9C．10D．11
【答案】D
例题7、已知：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点。
试说明：
EF与MN互相垂直平分。
（学生自己思考）
第二章、数据的离散程度
（一）知识点复习
1、极差：
一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。
计算公式：
极差=最大值-最小值。
极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围。
一般说，极差越小，则说明数据的波动幅度越小。
2、方差
各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差，记作S2。
巧用方差公式：
1、基本公式：
S2=[（X1-）2+（X2-）2+……+（Xn-）2]
2、简化公式：
S2=[（X12+X22+……+Xn2）-n2]
也可写成：
S2=（X12+X22+……+Xn2）-2
3、简化②：
S2=[（X’12+X’22+……+X’n2）-n2]
也可写成:
S2=（X’12+X’22+……+X’n2）-2
3、标准差:
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,记作S。
S=
意义：
1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小，我们通常研究的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情况。
2、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。
3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。
因此标准差同样反映数据的波动大小。
注意：
对两组数据来说，极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的极差也不一定大。
（二）经典例题
例题1、“恒盛”超市购进一批大米，大米的标准包装为每袋30kg，售货员任选6袋进行了称重检验，超过标准重量的记作“”，不足标准重量的记作“”，他记录的结果是，，，，，，那么这6袋大米重量的平均数和极差分别是
A．0，1.5B．29.5，1C．30，1.5D．30.5，0
【答案】C
例题2、甲、乙两同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了6次，统计两人的成绩得；平均数x甲=x乙，方差S2甲＜S2乙，则成绩较稳定的是．（填甲或乙）．
例题3、省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：
环）：
●
●第一次
●第二次
●第三次
●第四次
●第五次
●第六次
●甲
●10
●8
●9
●8
●10
●9
●乙
●10
●7
●10
●10
●9
●8
（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是▲环，乙的平均成绩是▲环；
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
（3）根据
（1）、
（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
（计算方差的公式：
s2＝［］）
【答案】
解：
（1）9；9．
（2）s2甲＝
＝＝；
s2乙＝
＝＝．
（3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
第三章、二次根式
（一）、知识框架
（二）、典型例题
例题1、化简：
解:
∵即∴
∴=
例题2、如果最简二次根式与是同类二次根式，则_____
解：
最简二次根式与是同类二次根式
解得
小结：
把一个二次根式化为最简（同类）二次根式的一般步骤：
①把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化为假分数，绝对值小于1的小数化为真分数；
②被开方数是多项式的进行因式分解；
③使被开方数不含分母；
④将被开方数中开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；
⑤化去分母中的根号（即分母有理化）
例题3、能使等式成立的取值范围是（）
ABCD
解：
要使就要满足以下条件：
①，②，解①②得：
，故正确选项为C
例题4、估算的值（）
A5和6之间B6和7之间C7和8之间D8和9之间
解：
，
正确选项为C
第四章、一元二次方程
（一）知识框架
一元二次方程的概念
一元二次方程
列一元二次方程解应用题
一元二次方程的根与系数的关系
△,方程有两个不相等的实根;△=0时,方程有两个相等的实根;△时,方程无实根.
一元二次方程
的根的
情况
公式法
配方法
因式分解法
直接配方法
一元二次方程的解法
一元二次方程的探索
等量关系
数量关系
一元二次方程的应用
方程的两根为,则,
（二）、知识详解
1、一元二次方程定义
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
（二）、一元二次方程的一般形式
，它的特征是：
等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
2、一元二次方程的解法
1、直接开平方法
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
当时，，；当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法
一般步骤：
（1）方程两边同时除以a,将二次项系数化为1.
（2）将所得方程的常数项移到方程的右边。
（3）所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方
（4）配方，化成
（5）开方。
当时，；当b<0时，方程没有实数根。
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：
4、因式分解法
一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。
3：
一元二次方程根的判别式
根的判别式
1、定义：
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式。
2、性质：
当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当＝0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根。
4：
一元二次方程根与
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