三角形压轴题.docx
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三角形压轴题
2009年全国各地中考数学压轴题专集
1．（北京市）在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）．
（1）在图1中画图探究：
①当P1为射线CD上任意一点（P1不与C点重合）时，连结EP1，将线段EP1绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1，判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明；
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2，判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．
（2）若AD＝6，tanB＝，AE＝1，在①的条件下，设CP1＝x，S△P1FG1＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
A
D
B
C
E
F
图1
A
D
B
C
E
F
图2（备用）
2．（北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（－6，0），B（6，0），
C（0，），延长AC到点D，使CD＝AC，过D点作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为轴上一点，点P从直线y＝kx＋b与轴的交点出发，先沿轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：
简述确定G点位置的方法，但不要求证明）
1
1
A
B
O
C
E
D
A
B
O
3．（天津市）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；
A
B
O
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′＝x，OC＝y，试写出y关于x的函数解析式，并确定的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′′，且使B′′D∥OB，求此时点C的坐标．
A
B
O
6．（上海市）已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足＝（如图1所示）．
（1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；
（2）在图1中，联结AP．当AD＝，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，＝y，其中表示△APQ的面积，表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．
D
A
P
C
B
（Q）
）
图2
图3
C
A
D
P
B
Q
图1
A
D
C
B
Q
P
18．（浙江省金华市）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）．
（1）当t＝4时，求直线AB的解析式；
（2）当t＞0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（3）是否存在点B，使△ABD为等腰三角形？
若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．
y
O
A
x
备用图
M
y
O
C
A
B
x
D
20．（浙江省嘉兴市）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x．
C
A
B
N
M
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：
△ABC的最大面积？
22．（浙江省丽水市）如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．
（1）尺规作图：
过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：
BC是过A，D，C三点的圆的切线；
（3）若过A，D，C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．
B
A
C
D
44．（河北省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t＝2时，AP＝_________，点Q到AC的距离是_________；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
A
C
B
P
Q
E
D
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？
若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．
46．（宁夏回族自治区）已知：
等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．
（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？
并求出该矩形的面积；
（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
C
P
Q
B
A
M
N
52．（贵州省六盘水市盘县特区）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
图2（备用图）
y
B
x
A
O
图1
y
B
P
x
D
A
O
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
63．（甘肃省张掖市）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P是线段OA上的一个动点（不与O，A重合），过点P作PQ⊥x轴于Q，以PQ为边向右作正方形PQMN．连接AN并延长交x轴于点B，连接ON．设OQ＝t．
（1）求证：
OQ＝QM；
（2）求线段BM的长（用含t的代数式表示）；
（3）△BMN与△MON能否相似？
若能，求出此时△BMN的面积；若不能，请说明理由．
B
M
Q
O
P
N
A
y
x
74．（黑龙江省哈尔滨市）已知：
△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．
（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：
FG＋DC＝AD；
（2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________；
A
B
C
E
D
F
G
A
B
C
E
D
F
G
M
N
P
Q
图1
图2
图3
A
B
C
D
E
F
G
（3）在
（2）的条件下，若AG＝，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝，求线段PQ的长．
78．（黑龙江省齐齐哈尔市、绥化市）直线＝与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当S＝时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
x
A
O
Q
P
B
y
79．（黑龙江省大兴安岭地区）直线＝（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是方程＝0的两根（OA＞OB）．动点P从O点出发，沿路线O→B→A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点P的运动时间为t（秒），△OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（3）当S＝12时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？
若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
x
A
O
P
B
y
80．（黑龙江省双鸭山市、黑河市）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x－12分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴上，且△ABC∽△AOB．
（1）求点C的坐标；
（2）若点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向B运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CA向A运动，连结PQ．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在
（2）的条件下，是否存在t的值，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
A
B
O
y
C
x
B
A
O
D
E
x
y
C
81．（黑龙江省佳木斯市、伊春市）如图，点A、B坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE＝2OC．设OE＝t（t＞0），矩形OEDC与△AOB重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题：
（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；
（2）当t＝4时，求S的值；
（3）直接写出S与t的函数关系式；（不必写出解题过程）
（4）若＝12，则t＝__________．
82．（辽宁省沈阳市）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点。
Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0），点B在第一象限内，且OB＝，∠OBA＝90º。
以边OB所在直线折叠Rt△OAB，使点A落在点C处。
（1）求证：
△OAC为等边三角形；
（2）点D在x轴的正半轴上，且点D的坐标为（4，0）。
点P为线段OC上一动点（点P不与点O重合），连接PA、PD。
设PC＝x，△PAD的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
O
A
D
C
P
M
B
1
1
y
x
（3）在
（2）的条件下，当x＝时，过点A作AM⊥PD于点M，若k＝，求证：
二次函数y＝－2x2－（7k－）x＋k的图象关于y轴对称。
84．（辽宁省大连市）如图1，在△ABC和△PQD中，AC＝kBC，DP＝kDQ，∠C＝∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连结EQ交PC于点H．
猜想线段EH与AC的数量
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