高中数学 122组合教案 新人教版选修23.docx

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高中数学122组合教案新人教版选修23

§1．2．2组合

教学目标：

知识与技能：

理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。

明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

过程与方法：

了解组合数的意义，理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：

能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。

教学重点：

组合的概念和组合数公式

教学难点：

组合的概念和组合数公式

授课类型：

新授课

课时安排：

2课时

内容分析：

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.

指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.

能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.

学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：

首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.

 排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.

教学过程：

一、复习引入：

1、分类加法计数原理：

做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法

2.分步乘法计数原理：

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法

3．排列的概念：

从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

4．排列数的定义：

从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示

5．排列数公式：

（）

6阶乘：

表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定．

7．排列数的另一个计算公式：

=

8.提出问题：

示例1：

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

示例2：

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？

引导观察：

示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：

组合．

二、讲解新课：

1组合的概念：

一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

说明：

⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：

元素相同

例1．判断下列问题是组合还是排列

（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？

有多少种不同的飞机票价？

（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？

（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？

选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？

（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？

（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？

问题：

（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？

（2）什么样的两个组合就叫相同的组合

2．组合数的概念：

从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．

3．组合数公式的推导：

（1）从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？

启发：

由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：

组合排列

由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：

①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法．由分步计数原理得：

＝，所以，．

（2）推广：

一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：

①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；

②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：

＝．

（3）组合数的公式：

或

规定:

.

三、讲解范例：

例2．用计算器计算．

解：

由计算器可得

例3．计算：

（1）；

（2）；

（1）解：

＝35；

（2）解法1：

＝120．

解法2：

＝120．

例4．求证：

．

证明：

∵

＝

＝

∴

例5．设求的值

解：

由题意可得：

，解得，

∵，∴或或，

当时原式值为7；当时原式值为7；当时原式值为11．

∴所求值为4或7或11．

例6．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：

（l）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？

（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？

分析：

对于

（1），根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于

（2），守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．

解：

（1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有C｝手＝12376（种）.

（2）教练员可以分两步完成这件事情：

第1步，从17名学员中选出n人组成上场小组，共有种选法；

第2步，从选出的n人中选出1名守门员，共有种选法．

所以教练员做这件事情的方法数有

=136136（种）.

例7．

（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？

解：

（1）以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有

（条）.

（2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有

（条）.

例8．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件.

（1）有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？

（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

解：

（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有

=161700（种）.

（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有

=9506（种）.

（3）解法1从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第

（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有

+=9604（种）.

解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即

=161700-152096=9604（种）.

说明：

“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。

变式：

按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？

（1）甲、乙、丙三人必须当选；

（2）甲、乙、丙三人不能当选；

（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；

（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；

例9．

（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？

解：

．

（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？

解：

问题可以分成2类：

第一类2名男生和2名女生参加，有中选法；

第二类3名男生和1名女生参加，有中选法

依据分类计数原理，共有100种选法

错解：

种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多

例10．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？

解法一：

（直接法）小组构成有三种情形：

3男，2男1女，1男2女，分别有，，，

所以，一共有++＝100种方法．

解法二：

（间接法）

四、组合数的两个性质

组合数的性质1：

．

一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，即：

．在这里，主要体现：

“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想

证明：

∵

又，∴

说明：

①规定：

；

②等式特点：

等式两边下标同，上标之和等于下标；

③此性质作用：

当时，计算可变为计算，能够使运算简化.

例如＝＝=2002；

④或．

2．组合数的性质2：

＝+．

一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：

一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

证明：

∴＝+．

说明：

①公式特征：

下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；

②此性质的作用：

恒等变形，简化运算

例11．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，

（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解：

（1）,或，；

（2）；（3）．

例12．

（1）计算：

；

（2）求证：

＝++．

解：

（1）原式；

证明：

（2）右边左边

例13．解方程：

（1）；

（2）解方程：

．

解：

（1）由原方程得或，∴或，

又由得且，∴原方程的解为或

上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.

（2）原方程可化为，即，∴，

∴，

∴，解得或