学年高中数学苏教版选修23教学案32 回归分析 Word版缺答案.docx
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学年高中数学苏教版选修23教学案32回归分析Word版缺答案
_3.2回_归_分_析
1．线性回归模型
（1）随机误差
具有线性相关关系的两个变量的取值x、y，y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，其中a＋bx是确定性函数，ε称为随机误差．
（2）随机误差产生的主要原因
①所用的确定性函数不恰当引起的误差；
②忽略了某些因素的影响；
③存在观测误差．
（3）线性回归模型中a，b值的求法
y＝a＋bx＋ε称为线性回归模型．
a，b的估计值为，，则
（4）回归直线和线性回归方程
直线＝＋x称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，称为回归截距，称为回归系数，称为回归值．
2．样本相关系数r及其性质
（1）r＝.
（2）r具有以下性质
①|r|≤1.
②|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强．
③|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱．
3．对相关系数r进行显著性检验的基本步骤
（1）提出统计假设H0：
变量x，y不具有线性相关关系．
（2）如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n－2在教材附录2中查出一个r的临界值r0.05（其中1－0.95＝0.05称为检验水平）．
（3）计算样本相关系数r.
（4）作出统计推断：
若|r|>r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|≤r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系．
1．在线性回归方程中，b既表示回归直线的斜率，又表示自变量x的取值增加一个单位时，函数值y的改变量．
2．通过回归方程＝＋x可求出相应变量的估计值．
3．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断．
线性回归分析
[例1] 假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由数据可知，y对x呈现线性相关关系．
（1）求线性回归方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
[思路点拨] 代入数值求线性回归方程，然后把x＝10代入，估计维修费用．
[精解详析]
（1）列表如下：
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
x
4
9
16
25
36
经计算得：
＝4，＝5，＝90，iyi＝112.3，
于是有＝＝1.23，
＝－·＝0.08，
所以线性回归方程为＝＋x＝0.08＋1.23x.
（2）当x＝10时，＝0.08＋1.23×10＝12.38（万元），
即若估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元．
[一点通] 线性回归分析的步骤：
（1）列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；
（2）计算，，，，iyi；
（3）代入公式求出＝x＋中参数，的值；
（4）写出线性回归方程，并对实际问题作出估计．
1．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
则y对x的线性回归方程为________．
解析：
∵＝＝9，＝＝4，
xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
x＝62＋82＋102＋122＝344，
∴＝＝＝0.7，
＝4－0.7×9＝－2.3.
故y对x的线性回归方程为＝0.7x－2.3.
答案：
＝0.7x－2.3
2．某班5名学生的数学和物理成绩如表：
学生
学科
A
B
C
D
E
数学成绩（x）
88
76
73
66
63
物理成绩（y）
78
65
71
64
61
（1）画出散点图；
（2）求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；
（3）一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．
解：
（1）散点图如图．
（2）∵＝×（88＋76＋73＋66＋63）＝73.2.
＝×（78＋65＋71＋64＋61）＝67.8.
xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.
又x＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.
∴＝≈0.625.
∴＝－＝67.8－0.625×73.2＝22.05.
∴y对x的线性回归方程是＝0.625x＋22.05.
（3）当x＝96时，＝0.625×96＋22.05≈82.
可以预测他的物理成绩是82.
相关性检验
[例2] 现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩（x）与入学后第一次考试的数学成绩（y）如下：
学生号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
120
108
117
104
103
110
104
105
99
108
y
84
64
84
68
69
68
69
46
57
71
请问：
这10名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？
[思路点拨] 可先计算线性相关系数r的值，然后与r0.05比较，进而对x与y的相关性作出判断．
[精解详析] ＝（120＋108＋…＋99＋108）＝107.8，
＝（84＋64＋…＋57＋71）＝68.
＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584.
＝842＋642＋…＋572＋712＝47384.
iyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71
＝73796.
所以相关系数为
r＝
≈0.751.
由检验水平0.05及n－2＝8，
在附录2中查得r0.05＝0.632，
因为0.751>0.632，
由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系．
[一点通] 利用相关系数r进行判断相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，需要借助计算器，但计算时应该特别细心，避免出现计算错误．
3．对于回归分析，有下列叙述：
（1）在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能自由变量惟一确定．
（2）线性相关系数可以是正的或是负的．
（3）回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关．
（4）样本相关系数r∈（－∞，＋∞）．
判断其说法是否正确．
解：
由回归模型及其性质易知
（1），
（2），（3）是正确的．相关系数的取值范围应为|r|≤1，所以（4）是错误的．
4．一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x（转/秒）
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y（件）
11
9
8
5
对变量y与x进行线性相关性检验．
解：
由题中数据可得＝12.5，＝8.25，xiyi＝438，
4＝412.5，x＝660，y＝291，所以
r＝
＝
＝≈0.995.
由检验水平0.05及n－2＝2在教材附录表2中查得r0.05＝0.950，因为r>r0.05，所以y与x具有线性相关关系．
对两个相关变量进行线性回归分析时，首先判断两个变量是否线性相关，可以通过散点图和相关系数判断，然后再求线性回归方程，对问题进行预测，否则求出的回归方程无意义，预测也无价值．
[对应课时跟踪训练（十九）]
一、填空题
1．下列命题中正确的是________（填所有正确命题的序号）．
①任何两个变量都具有相关关系；
②圆的周长与圆的半径具有相关关系；
③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；
④根据散点图求得的线性回归方程可能是没有意义的；
⑤两个变量的线性相关关系可以通过线性回归方程，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．
解析：
显然①是错误的；而②中，圆的周长与圆的半径的关系为C＝2πR，是一种确定性的函数关系．
答案：
③④⑤
2．已知x，y的取值如下表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从所得的散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x＋，则＝________.
解析：
∵＝2，＝4.5.又回归直线恒过定点（，），代入得＝2.6.
答案：
2.6
3．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x（cm）和体重y（kg）的线性回归方程为＝0.849x－85.712，则身高172cm的女大学生，由线性回归方程可以估计其体重为________．
解析：
＝0.849×172－85.712＝60.316.
答案：
60.316kg
4．有下列关系：
①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；
⑤学生与其学号之间的关系．
其中有相关关系的是____________．（填序号）
解析：
由相关关系定义分析．
答案：
①③④
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x（万元）
4
2
3
5
销售额y（万元）
49
26
39
54
根据上表可得线性回归方程y＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元．
解析：
样本中心点是（3.5,42），则＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，所以线性回归方程是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5.
答案：
65.5
二、解答题
6．下面是水稻产量与施肥量的一组观测数据：
施肥量
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量
320
330
360
410
460
470
480
（1）将上述数据制成散点图；
（2）你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？
解：
（1）散点图如下：
（2）从图中可以发现施肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施肥量和水稻产量近似成线性正相关关系．
7．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x（万元）和需求量y（t）之间的一组数据为
1
2
3
4
5
价格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量y
12
10
7
5
3
已知iyi＝62，＝16.6.
（1）画出散点图；
（2）求出y对x的线性回归方程；
（3）如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？
（精确到0.01t）
解：
（1）散点图如下图所示：
（2）因为＝×9＝1.8，＝×37＝7.4，
iyi＝62，＝16.6，
所以＝＝＝－11.5.
＝－＝7.4＋11.5×1.8＝28.1.
故y对x的线性回归方程为＝11.5x＋28.1
（3）＝28.1－11.5×1.9＝6.25t.
8．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性
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