春九年级数学下全册教案北师大版.docx

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春九年级数学下全册教案北师大版

2018年春九年级数学下全册教案（北师大版）

第二章二次函数

2.1二次函数

1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.（重点）

2.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.（重难点）

阅读教材P29～30，完成预习内容.

（一）知识探究

一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a、b、c.

（二）自学反馈

1.下列函数中，不是二次函数的是（D）

A.y＝1－2x2B.y＝（x－1）2－1

C.y＝12（x＋1）（x－1）D.y＝（x－2）2－x2

判断二次函数要紧扣二次函数的定义.

2.一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积S与半径r之间的关系式是S表＝4πr2.

活动1小组讨论

例1若y＝（b－1）x2＋3是二次函数，则b的取值范围是b≠1.

二次项系数不为0.

例2一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为（x＋1）cm的小长方形，剩余部分的面积为ycm2.

（1）写出y与x之间的关系表达式，并指出y是x的什么函数？

（2）当小长方形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是什么？

解：

（1）y＝122－2x（x＋1），即y＝－2x2－2x＋144.∴y是x的二次函数.

（2）当x＝2和4时，相应的y的值分别为132和104.

∴相应的剩余部分的面积分别是132和104.

几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来.

活动2跟踪训练

1.如果函数y＝（k＋2）xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？

解：

k＝2

不要忽视k＋2≠0.

2.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（m2）与x（m）的函数关系式为y＝－12x2＋15x（不要求写出自变量x的取值范围）.

3.已知，函数y＝（m＋1）xm2－3m－2＋（m－1）x（m是常数）.

（1）m为何值时，它是二次函数？

（2）m为何值时，它是一次函数？

注意②要分情况讨论.

解：

（1）m＝4.

（2）m＝－1或m＝3±172或m＝3±212.

活动3课堂小结

学生试述：

这节课你学到了些什么？

2.2二次函数的图象与性质

第1课时二次函数y＝ax2的图象与性质

1.能够用描点法作出函数y＝ax2的图象，并能根据图象认识和理解其性质.（重难点）

2.初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化.

阅读教材P32～35，完成预习内容.

（一）知识探究

一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是（0，0），当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a

（二）自学反馈

在同一坐标系中画出函数y＝x2、y＝12x2和y＝2x2的图象，并根据函数图象回答下列问题.

解：

略.

（1）观察上述图象的特征：

形状是抛物线，开口向上，图象关于y轴对称，其顶点坐标是（0，0），其顶点是最低点（最高点或最低点）.

（2）找出上述三条抛物线的异同：

开口向上，关于y轴对称，顶点坐标为（0，0）.

可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律.

活动1小组讨论

例1函数y＝2x2的图象是抛物线，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，开口方向是向上.

例2已知函数y＝（m＋2）xm2＋m－4是关于x的二次函数.

（1）求满足条件的m的值；

（2）m为何值时，抛物线有最低点？

求这个最低点；当x为何值时，y随x的增大而增大？

（3）m为何值时，函数有最大值？

最大值为多少？

当x为何值时，y随x的增大而减小？

解：

（1）由题意，得m2＋m－4＝2，m＋2≠0.解得m＝2或m＝－3，m≠－2.

∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数.

（2）若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，

∴m＋2>0，即m>－2.∴只能取m＝2.

∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为（0，0），

∴当x>0时，y随x的增大而增大.

（3）若函数有最大值，则抛物线开口向下，

∴m＋2∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为（0，0），∴当m＝－3时，函数有最大值为0.

∴当x>0时，y随x的增大而减小.

要结合图象来分析完成此题.

活动2跟踪训练

1.二次函数y＝－2x2，当x1>x2>0，则y1与y2的关系是y1要结合图象分析解题.

2.当m＝－2时，抛物线y＝（m－1）xm2＋m开口向下，对称轴为y轴，当x0时，y随x的增大而减小.

二次项系数a是决定开口方向和开口大小的，同时根据开口方向也可以判断a的正负.

3.已知函数y＝ax2经过点（1，2）.

（1）求a的值；

（2）当x解：

（1）a＝2；

（2）当x活动3课堂小结

学生试述：

这节课你学到了些什么？

第2课时二次函数y＝ax2＋c的图象与性质

1.会作函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象，并能比较它们的异同.（重点）

2.理解a、c对二次函数图象的影响，能正确说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.（重难点）

3.了解抛物线y＝ax2上下平移规律.（重点）

阅读教材P35～36，完成预习内容.

（一）知识探究

一般地，抛物线y＝ax2＋c的对称轴是y轴，顶点是（0，c），当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a

（二）自学反馈

1.在抛物线y＝x2－4上的一个点是（C）

A.（4，4）B.（1，－4）

C.（2，0）D.（0，4）

2.画出二次函数y＝x2－1、y＝x2和y＝x2＋1的图象，并观察图象有哪些异同？

解：

略.

从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找.

活动1小组讨论

例1抛物线y＝－5x2＋3是由抛物线y＝－5x2向上平移3个单位得到的.

解这类题，必须根据二次函数y＝ax2＋c的图象与性质来解，a值确定抛物线的形状大小及开口方向，c值确定顶点的位置.

例2抛物线y＝ax2与y＝ax2±c（c>0）有什么关系？

解：

①抛物线y＝ax2±c与y＝ax2的形状完全相同，只是位置不同.

②抛物线y＝ax2――→向上平移c个单位y＝ax2＋c，抛物线y＝ax2――→向下平移c个单位y＝ax2－c.

活动2跟踪训练

1.函数y＝ax2－a与y＝ax－a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（D）

2.二次函数y＝－2x2＋6图象的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，6），当x活动3课堂小结

1.本节课所学的知识：

函数y＝ax2＋c的图象与性质以及抛物线y＝ax2上下平移规律.

2.所学的思想方法：

图象法、数形结合.

第3课时二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质

1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a（x－h）2＋k的图象.（重点）

2.能正确说出y＝a（x－h）2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.（重难点）

3.掌握抛物线y＝a（x－h）2＋k的平移规律.（重点）

阅读教材P37～38，完成预习内容.

（一）知识探究

1.一般地，抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2的形状相同，顶点不同，把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a（x－h）2＋k，平移的方向、距离要根据h、k的值来决定：

当h>0时，表明将抛物线y＝ax2向右平移h个单位；当k2.二次函数y＝a（x－h）2＋k的顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小；当a

（二）自学反馈

1.函数y＝4（x＋1）2－2的图象是由函数y＝4x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的.

2.抛物线y＝－2（x－1）2－3的开口方向是向下，其顶点坐标是（1，－3），对称轴是直线x＝1，当x>1时，函数值y随自变量x的值的增大而减小.

活动1小组讨论

例1填写下表：

解析式开口方向对称轴顶点坐标

y＝－5x2向下y轴（0，0）

y＝12x2＋5

向上y轴（0，5）

y＝－3（x＋4）2向下直线x＝－4（－4，0）

y＝4（x＋2）2－7向上直线x＝－2（－2，－7）

例2已知抛物线y＝a（x－h）2＋k，将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y＝－3（x＋1）2－4，求原抛物线的解析式.

解：

抛物线y＝－3（x＋1）2－4的顶点坐标为（－1，－4），它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（－4，－2）.故原抛物线的解析式为y＝－3（x＋4）2－2.

抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：

顶点的变化.

活动2跟踪训练

1.将抛物线y＝－3x2向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是y＝－3（x－2）2＋5.

抛物线的移动主要看顶点位置的移动.

2.若直线y＝3x＋m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝（x－m）2＋1的顶点必在第二象限.

此题为一次函数与二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别.

3.已知A（1，y1）、B（－12，y2）、C（－2，y3）在函数y＝a（x＋1）2＋k（a>0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是y1>y3>y2.

活动3课堂小结

1.本节所学的知识：

二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象画法及其性质的总结；平移的规律.

2.所用的思想方法：

从特殊到一般.

第4课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质

1.会用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象.（重点）

2.会用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.（重难点）

3.能通过配方求出二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.（重难点）

阅读教材P39～40，完成预习内容.

（一）知识探究

用配方法将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a（x－h）2＋k的形式，则h＝－b2a，k＝4ac－b24a.则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标是（－b2a，4ac－b24a），对称轴是直线x＝－b2a，当x＝－b2a时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大（最小）值，当a>0时，函数y有最小值，当a

（二）自学反馈

求二次函数y＝2x2＋4x－1顶点的坐标，对称轴，最值，并画出其函数图象.

解：

顶点坐标为（－1，－3），对称轴是直线x＝－1，当x＝－1时，y有最小值－3，图略.

先将此函数表达式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征.

活动1小组讨论

例将下列二次函数写成y＝a（x－h）2＋k的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴.

（1）y＝12x2－6x＋21；

（2）y＝－2x2－12x－22.

解：

（1）y＝12x2－6x＋21＝12（x2－12x）＋21＝12（x2－12x＋36－36）＋21＝12（x－6）2＋3.

∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为（6，3），对称轴是直线x＝6.

（2）y＝－2x2－12x－22＝－2（x2＋6x）－22＝－2（x2＋6x＋9－9）－22＝－2（x＋3）2－4.

∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为（－3，－4），对称轴是直线x＝－3.

第

（2）小题注意h值的符号；配方法是数学里的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解.

活动2跟踪训练

1.抛物线y＝－x2＋4x－7的开口方向是向下，对称轴是x＝2，顶点坐标是（2，－3）.当x＝2时，函数y