高三人教版数学章末综合测试题平面向量数系的扩充与复数的引入Word格式文档下载.doc

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　解析　C　a＋b＝（－1，－2）＝－a，所以a与c的夹角即a＋b与c的夹角的补角．

设a＋b与c的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，故θ＝，则a与c的

夹角为.

5．已知A（－3,0），B（0,2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°

，设＝

λ＋（λ∈R），则λ的值为（　　）

A．1B.C.D.

　解析　A　如图，过C作CE⊥x轴于点E，则|OE|＝|CE|＝2，所

以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以（－2,0）＝

λ（－3,0），故λ＝.故选A.

6．（2011·

湖南十二校联考）平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足（－）·

（－）

＝0，则三角形ABC是（　　）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

　解析　B　（－）·

（－）＝（－）·

（＋）＝（－）·

＝（－

）·

（＋）＝||2－||2＝0，故||＝||，即△ABC是等腰三角形．

7．（2011·

杭州月考）已知定义在复数集C上的函数f（x）满足f（x）＝则

f（1＋i）＝（　　）

A．－2 B．0C．2D．2＋i

　解析　C　∵（1＋i）∉R，∴f（1＋i）＝（1－i）（1＋i）＝1－i2＝2.

8．如图所示，非零向量O＝a，O＝b，且BC⊥OA，C为垂足，若O＝λa（λ≠0），

则λ＝（　　）

A.　　　　　　B.

C.　　　　　　D.

　解析　A　B⊥O，即B⊥O⇒（O－O）·

O＝0⇒|O|2－O·

O＝0，

即λ2|a|2－λa·

b＝0，解得λ＝.

9．（2011·

济南一模）设a是实数，且＋是实数，则a＝（　　）

A.B．－1C．1D．2

　解析　B　因为＋＝＋＝－i是实数，所以a＝－1.

10．已知点A（－2,0）、B（3,0），动点P（x，y）满足P·

P＝x2，则点P的轨迹是（　　）

A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

　解析　D　∵P＝（－2－x，－y），P＝（3－x，－y），P·

P＝x2，

∴（－2－x）（3－x）＋y2＝x2，化简得y2＝x＋6.

11．已知向量a＝（1,1），2a＋b＝（4,2），则向量a，b的夹角为（　　）

A.B.C.D.

　解析　B　由a＝（1,1），2a＋b＝（4,2），得b＝（4,2）－2（1,1）＝（2,0）．设向量a，b的夹

角为θ，则cosθ＝＝＝，θ＝.

12．（2011·

宝坻质量调查）已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，满足2＋＋＝0（其

中O为坐标原点），又||＝||，则向量在向量方向上的投影为（　　）

A．1B．－1C.D．－

　解析　C　由2＋＋＝（＋）＋（＋）＝＋＝0，得＝－，

即O，B，C三点共线．又||＝||＝1，故向量在向量方向上的投影为

||cos＝.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．设向量a与b的夹角为θ，a＝（3,3），2b－a＝（－1,1），则cosθ＝________.

　解析　∵a＝（3,3），2b－a＝（－1,1），∴b＝（1,2），

∴cosθ＝＝＝.

【答案】　

14．如果复数z＝（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b的值等于________．

　解析　z＝＝－i，由＝，得b＝0.

【答案】　0

15．（2011·

宣城调研）已知i是虚数单位，复数z满足＝2－i，则z＝________.

　解析　由题意得，z＝－i＝－i＝－－i.

【答案】　－－i

16．对于n个向量a1，a2，…，an，若存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，…，an是线性相关的．按此规定，能使向量a1＝（1,0），a2＝（1，－1），a3＝（2,2）是线性相关的实数k1，k2，k3的值依次为________（只需写出一组值即可）．

　解析　根据线性相关的定义，

得k1（1,0）＋k2（1，－1）＋k3（2,2）＝0⇒

令k3＝1，则k2＝2，k1＝－4，∴k1，k2，k3的一组值为－4,2,1.

【答案】　－4,2,1

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）如图，在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，证明：

＋＝2.

　解析　因为F为BC的中点，所以＋＝0，

连接AF，DF，则有＋＝＋＋＋＝

＋＋＋＝＋.而＝＋，＝＋，

又E为AD的中点，所以＋＝0.

所以＋＝＋＋＋＝2，所以＋＝2.

18．（12分）计算下列各式的值：

（1）2；

（2）；

（3）＋i3.

　解析　

（1）2＝＝＝2i.

（2）＝＝2－i.

（3）＋i3＝＋i3＝＋i3＝i－i＝0.

19．（12分）已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：

AD⊥CE.

　解析　建立如图所示的直角坐标系，

设A（a,0），则B（0，a），E（x，y）．

∵D是BC的中点，∴D.

又∵＝2，即（x－a，y）＝2（－x，a－y），

∴解得

∵＝－（a,0）＝，＝＝，

∴·

＝－a×

＋a×

＝0.∴⊥，即AD⊥CE.

20．（12分）已知点A（2,0）、B（0,2）、C（cosα，sinα），O为坐标原点，且0＜α＜π.

（1）若|O＋O|＝，求O与O的夹角；

（2）若A⊥B，求tanα的值．

　解析　

（1）由已知可得O＝（2,0），

O＝（cosα，sinα），且|O＋O|＝，

∴＝，化简得cosα＝，

∵0＜α＜π，∴sinα＝，∴＝.

又∵O＝（0,2），∴cos〈O，O〉＝＝.

又∵〈O，O〉∈[0，π]，∴〈O，O〉＝.

（2）A＝（cosα－2，sinα），B＝（cosα，sinα－2），

由A⊥B，得（cosα－2，sinα）·

（cosα，sinα－2）＝0，

即（cosα－2）cosα＋sinα（sinα－2）＝0，

化简得，sinα＋cosα＝，

∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，①

∴＝，

即3tan2α＋8tanα＋3＝0，解得tanα＝.

由①得，sinαcosα＝－＜0且0＜α＜π，∴＜α＜π，又|sinα|＞|cosα|，∴tanα＝－.

21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P（0,2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在常数k，使得向量O＋O与P共线？

如果存在，求出k的值；

如果不存在，请说明理由．

　解析　

（1）圆的方程可写成（x－6）2＋y2＝4，

所以圆心为Q（6,0），过P（0,2）且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得

x2＋（kx＋2）2－12x＋32＝0，

整理，得（1＋k2）x2＋4（k－3）x＋36＝0.①

直线与圆交于两个不同的点A、B等价于

Δ＝[4（k－3）]2－4×

36（1＋k2）＝16（－8k2－6k）＞0，

解得－＜k＜0，

即k的取值范围为.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则O＋O＝（x1＋x2，y1＋y2），

由方程①得，x1＋x2＝－.②

又y1＋y2＝k（x1＋x2）＋4，③

而P（0,2），Q（6,0），P＝（6，－2），

∴O＋O与P共线等价于－2（x1＋x2）＝6（y1＋y2）．

将②③代入上式，解得k＝－，

又k∈，∴不存在符合题意的常数k.

22．（12分）已知向量a＝，b＝，且x∈.

（1）求a·

b及|a＋b|；

（2）若f（x）＝a·

b－|a＋b|，求f（x）的最大值和最小值．

　解析　

（1）a·

b＝cosxcos－sinxsin＝cos2x，|a＋b|＝＝2|cosx|，

∵x∈，∴cosx>

0.∴|a＋b|＝2cosx.

（2）f（x）＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1

＝22－.

∵x∈，∴≤cosx≤1.

∴当cosx＝时，f（x）取得最小值－；

当cosx＝1时，f（x）取得最大值－1.