高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第2讲第2课时导数与函数的极值最值配套练习文北师大版Word下载.docx

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当x>

时，f′（x）<

0.

∴f（x）max＝f＝－lna－1＝－1，解得a＝1.

4．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是

A．（－1,2）B．（－∞，－3）∪（6，＋∞）

C．（－3,6）D．（－∞，－1）∪（2，＋∞）

解析　∵f′（x）＝3x2＋2ax＋（a＋6），

由已知可得f′（x）＝0有两个不相等的实根，

∴Δ＝4a2－4×

3×

（a＋6）>

0，即a2－3a－18>

0，

∴a>

6或a<

－3.

答案　B

5．设函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c∈R），若x＝－1为函数f（x）ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f（x）图像的是

解析　因为[f（x）ex]′＝f′（x）ex＋f（x）（ex）′＝[f（x）＋f′（x）]ex，且x＝－1为函数f（x）ex的一个极值点，所以f（－1）＋f′（－1）＝0；

选项D中，f（－1）＞0，f′（－1）＞0，不满足f′（－1）＋f（－1）＝0.

二、填空题

6．（xx·

咸阳模拟）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f（x）的一个极值点，则实数a＝________.

解析　f′（x）＝3x2＋2ax＋3.

依题意知，－3是方程f′（x）＝0的根

所以3×

（－3）2＋2a×

（－3）＋3＝0，解得a＝5.

经检验，a＝5时，f（x）在x＝－3处取得极值．

答案　5

7．（xx·

北京卷改编）设函数f（x）＝则f（x）的最大值为________．

解析　当x>

0时，f（x）＝－2x<

当x≤0时，f′（x）＝3x2－3＝3（x－1）（x＋1），当x<

－1时，f′（x）>

0，f（x）是增函数，当－1<

0时，f′（x）<

0，f（x）是减函数．

∴f（x）≤f（－1）＝2，∴f（x）的最大值为2.

答案　2

8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．

解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.

∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，

则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，

∵x>

0时，－ex<

－1，∴a＝－ex<

－1.

答案　（－∞，－1）

三、解答题

9．（xx·

安徽卷）已知函数f（x）＝（a>

0，r>

0）．

（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；

（2）若＝400，求f（x）在（0，＋∞）内的极值．

解　

（1）由题意可知x≠－r，所求的定义域为（－∞，－r）∪（－r，＋∞）．

f（x）＝＝，

f′（x）＝＝.

所以当x<

－r或x>

r时，f′（x）<

当－r<

r时，f′（x）>

因此，f（x）的单调递减区间为（－∞，－r），（r，＋∞）；

f（x）的单调递增区间为（－r，r）．

（2）由

（1）的解答可知f′（r）＝0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，＋∞）上单调递减．

因此，x＝r是f（x）的极大值点，

所以f（x）在（0，＋∞）内的极大值为f（r）＝＝＝＝100，f（x）在（0，＋∞）内无极小值；

综上，f（x）在（0，＋∞）内极大值为100，无极小值．

10．（xx·

衡水中学二调）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝（－x2＋ax－3）ex（a为实数）．

（1）当a＝5时，求函数y＝g（x）在x＝1处的切线方程；

（2）求f（x）在区间[t，t＋2]（t>

0）上的最小值．

解　

（1）当a＝5时，g（x）＝（－x2＋5x－3）ex，g

（1）＝e.

又g′（x）＝（－x2＋3x＋2）ex，

故切线的斜率为g′

（1）＝4e.

所以切线方程为y－e＝4e（x－1），即y＝4ex－3e.

（2）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝lnx＋1，

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

f′（x）

－

＋

f（x）

极小值

①当t≥时，在区间[t，t＋2]上f（x）为增函数，

所以f（x）min＝f（t）＝tlnt.

②当0<

t<

时，在区间上f（x）为减函数，在区间上f（x）为增函数，

所以f（x）min＝f＝－.

11．（xx·

广州调研）若函数f（x）＝x3＋ax2＋bx（a，b∈R）的图像与x轴相切于一点A（m,0）（m≠0），且f（x）的极大值为，则m的值为

A．－B．－

C.D.

解析　由题意可得f（m）＝m3＋am2＋bm＝0，m≠0，则m2＋am＋b＝0　①，且f′（m）＝3m2＋2am＋b＝0　②，

①－②化简得m＝－.

f′（x）＝3x2＋2ax＋b的两根为－和－，

则b＝，f＝，解得a＝－3，m＝.

12．（xx·

安徽卷）函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图所示，则下列结论成立的是

A．a>

0，b<

0，c>

0，d>

0B．a>

0，c<

C．a<

0D．a>

0，d<

解析　由函数y＝f（x）的图像知，a>

0，f（0）＝d>

又x1，x2是函数f（x）的极值点，

且f′（x）＝3ax2＋2bx＋c＝0，

∴x1，x2是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．

由图像知，x1>

0，x2>

∴因此b<

0，且c>

答案　A

13．（xx·

陕西卷）函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．

解析　由y＝xex可得y′＝ex＋xex＝ex（x＋1），从而可得y＝xex在（－∞，－1）上递减，在（－1，＋∞）上递增，所以当x＝－1时，y＝xex取得极小值－e－1，因为y′|x＝－1＝0，故切线方程为y＝－e－1，即y＝－.

答案　y＝－

14．（xx·

山东卷改编）设f（x）＝xlnx－ax2＋（2a－1）x（常数a>

0）

（1）令g（x）＝f′（x），求g（x）的单调区间；

（2）已知f（x）在x＝1处取得极大值．求实数a的取值范围．

（1）解　由f′（x）＝lnx－2ax＋2a，

可得g（x）＝lnx－2ax＋2a，x∈（0，＋∞）．

所以g′（x）＝－2a＝.

当x∈时，g′（x）>

0，函数g（x）单调递增，

当x∈时，g′（x）<

0，函数g（x）单调递减．

∴函数y＝g（x）的单调增区间为，单调减区间为.

（2）由

（1）知，f′

（1）＝0.

①当0<

a<

时，>

1，由

（1）知f′（x）在内单调递增，可得当x∈（0,1）时，f′（x）<

0，当x∈时，f′（x）>

所以f（x）在（0,1）内单调递减，在内单调递增．

所以f（x）在x＝1处取得极小值，不合题意．

②当a＝时，＝1，f′（x）在（0,1）内单调递增，在（1，＋∞）内单调递减，所以当x∈（0，＋∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．

③当a>

时，0<

<

1，当x∈时，f′（x）>

0，f（x）单调递增，当x∈（1，＋∞）时，f′（x）<

0，f（x）单调递减．

所以f（x）在x＝1处取极大值，符合题意．

综上可知，实数a的取值范围为.

2019-2020年高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第2讲第3课时导数与函数的综合应用配套练习文北师大版

1．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R（x）＝则总利润最大时，年产量是

A．100B．150

C．200D．300

解析　由题意得，总成本函数为C＝C（x）＝20000＋100x，

总利润P（x）＝

又P′（x）＝

令P′（x）＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P（x）最大．

2．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f

（2）＝0，当x>

0时，有<

0恒成立，则不等式x2f（x）>

0的解集是

A．（－2,0）∪（2，＋∞）B．（－2,0）∪（0,2）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－∞，－2）∪（0,2）

解析　x>

0时′<

0，∴φ（x）＝在（0，＋∞）为减函数，又φ

（2）＝0，

∴当且仅当0<

2时，φ（x）>

0，此时x2f（x）>

又f（x）为奇函数，∴h（x）＝x2f（x）也为奇函数．

故x2f（x）>

0的解集为（－∞，－2）∪（0,2）．

3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是

A．（－∞，7]B．（－∞，－20]

C．（－∞，0]D．[－12,7]

解析　令f（x）＝x3－3x2－9x＋2，则f′（x）＝3x2－6x－9，令f′（x）＝0得x＝－1或x＝3（舍去）．

∵f（－1）＝7，f（－2）＝0，f

（2）＝－20，

∴f（x）的最小值为f

（2）＝－20，故m≤－20.

4．（xx·

景德镇联考）已知函数f（x）的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表：

－1

2

3

4

1

f（x）的导函数y＝f′（x）的图像如图所示．当1<

2时，函数y＝f（x）－a的零点的个数为

A．1B．2

C．3D．4

解析　根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数y＝f（x）的大致图像如图所示．

由于f（0）＝f（3）＝2,1<

2，所以y＝f（x）－a的零点个数为4.

5．（xx·

全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝ax3－3x2＋1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>

0，则a的取值范围是

A．（2，＋∞）B．（1，＋∞）

C．（－∞，－2）D．（－∞，－1）

解析　a＝0时，不符合题意，a≠0时，f′（x）＝3ax2－6x.

令f′（x）＝0，得x＝0或x＝.

若a>

0，则由图像知f（x）有负数零点，不符合题意．

则a<

0，由图像结合f（0）＝1>

0知，此时必有

f>

0，即a×

－3×

＋1>

化简得a2>

4.

又a<

0，所以a<

－2.

答案　C

6．某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x（x>

0），为使耗电量最小，则速度应定为________．

解