最新高等数学上册期末考试试题含答案FBWord下载.docx
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(2);
(3)
(4).
(1)函数f(x)满足狄利克雷定理的条件,x=nπ,n∈z是其间断点,在间断占处f(x)的傅里叶级数收敛于
,在x≠nπ,有
于是f(x)的傅里叶级数展开式为
(x≠nπ)
(2)函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f(x),注意到f(x)为偶函数,从而f(x)cosnx为偶函数,f(x)sinnx为奇函数,于是
,,
(n=1,2,…)
所以,f(x)的傅里叶级数展开式为:
∞)
(3)函数在x=(2n+1)π(n∈z)处间断,在间断点处,级数收敛于0,当x≠(2n+1)π时,由f(x)为奇函数,有an=0,(n=0,1,2,…)
(x≠(2n+1)π,n∈z)
(4)因为作为以2π为周期的函数时,处处连续,故其傅里叶级数收敛于f(x),注意到f(x)为偶函数,有bn=0(n=1,2,…),
所以f(x)的傅里叶级数展开式为:
x∈[-π,π]
4.求下列幂级数的收敛半径及收敛域:
(1)x+2x2+3x3+…+nxn+…;
(2);
(3);
(4);
(1)因为,所以收敛半径收敛区间为(-1,1),而当x=±
1时,级数变为,由知级数发散,所以级数的收敛域为(-1,1).
(2)因为
所以收敛半径,收敛区间为(-e,e).
当x=e时,级数变为;
应用洛必达法则求得,故有由拉阿伯判别法知,级数发散;
易知x=-e时,级数也发散,故收敛域为(-e,e).
(3)级数缺少偶次幂项.根据比值审敛法求收敛半径.
所以当x2<
1即|x|<
1时,级数收敛,x2>
1即|x|>
1时,级数发散,故收敛半径R=1.
当x=1时,级数变为,当x=-1时,级数变为,由知,发散,从而也发散,故原级数的收敛域为(-1,1).
(4)令t=x-1,则级数变为,因为
所以收敛半径为R=1.收敛区间为-1<
x-1<
1即0<
2.
当t=1时,级数收敛,当t=-1时,级数为交错级数,由莱布尼茨判别法知其收敛.
所以,原级数收敛域为0≤x≤2,即[0,2]
5.用比值判别法判别下列级数的敛散性:
(1);
(4)
(1),,
由比值审敛法知,级数收敛.
(2)
所以原级数发散.
(3)
故原级数收敛.
6.判定下列级数的敛散性:
(2);
(3);
(4);
(1)
从而,故级数发散.
从而,故原级数收敛,其和为.
(3)此级数为的等比级数,且|q|<
1,故级数收敛.
(4)∵,而,故级数发散.
7.写出下列级数的一般项:
(1);
8.设某工厂生产某种产品的固定成本为零,生产x(百台)的边际成本为C′(x)(万元/百台),边际收入为R′(x)=7-2x(万元/百台).
(1)求生产量为多少时总利润最大?
(2)在总利润最大的基础上再生产100台,总利润减少多少?
(1)当C′(x)=R′(x)时总利润最大.
即2=7-2x,x=5/2(百台)
(2)L′(x)=R′(x)-C′(x)=5-2x.
在总利润最大的基础上再多生产100台时,利润的增量为
ΔL(x)=.
即此时总利润减少1万元.
9.设某企业固定成本为50,边际成本和边际收入分别为
C′(x)=x2-14x+111,R′(x)=100-2x.
试求最大利润.
设利润函数L(x).
则L(x)=R(x)-C(x)-50
由于L′(x)=R′(x)-C(x)=(100-2x)-(x2-14x+111)=-x2+12x-11
令L′(x)=0得x=1,x=11.
又当x=1时,L″(x)=-2x+12>
0.当x=11时L″(x)<
0,故当x=11时利润取得最大值.且最大利润为
L(11)=
10.求下列曲线段的弧长:
a),0≤x≤2;
见图18,2yy′=2.
∴.从而
(18)
b)y=lnx,;
.
c);
=4.
11.已知,其中求C.
所以.
12.计算下列积分:
;
原式
原式=
所以,原式=.
.
13.利用被积函数奇偶性计算下列积分值(其中a为正常数)
因为[-a,a]上的奇函数,
故
因为即被积函数为奇函数,所以原式=0.
因为为奇函数,故
因为是奇函数,故
14.求下列函数的傅里叶积分:
15.设,且,在[a,b]内存在,证明:
在(a,b)内至少有一点,使.
证明:
在[a,b]内存在,故在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且,故由罗尔定理知,,使得,,使得,又在上连续,在内可导,由罗尔定理知,,使,即在(a,b)内至少有一点,使.
16.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40°
如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.
图1-1
解:
从而.
由得定义域为.
17.求下列函数的高阶微分:
⑴,求;
⑵,求;
⑶,求;
⑷,求;
⑸(为常数),求.
⑴,
⑵
⑶由莱布尼兹公式,得
⑷由莱布尼兹公式,得
⑸
两端求导,得
等式两端再求导得
解得
故
18.求下列函数的微分:
⑴;
⑵;
⑶;
⑷;
⑸;
⑹.
⑵;
⑷
;
⑹;
19.设是由方程组
所确定的隐函数,求.
分别对已知方程组的两边关于求导,得:
再对求一次导,得
将代入上述各式,得
20.求下列函数在指定点的高阶导数:
⑴求;
⑵求,;
⑶求,.
⑴
故.
故,.
⑶
故,
21.求下列参数方程所确定的函数的导数:
⑴(a,b为常数)
⑵
22.已知在点可导,证明:
23.试求过点(3,8)且与曲线相切的直线方程.
曲线上任意一点处的切线斜率为.因此过(3,8)且与曲线相切的直线方程为:
,且与曲线的交点可由方程组解得
为(2,4),(4,16)即为切点.
故切线方程为:
24.已知,求.
当时,,
故不存在.
又
综上所述知
25.已知求.
当时,
26.讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:
因为所以此函数在处连续.
又
,故此函数在处不可导.
因为故函数在处连续.
又,
故函数在处可导.
因为
故函数在x=1处连续.
,故函数在x=1处不可导.
27.下列各题中均假定存在,按照导数定义观察下列极限,指出A表示什么.
28.当x=0时,下列函数无定义,试定义的值,使其在x=0处连续:
∴补充定义可使函数在x=0处连续.
29.利用夹逼定理求下列数列的极限:
其中为给定的正常数;
而,当时,
(2)记
则有
即
而
即.
故.
30.求由参数式所确定的函数y对x的导数.
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1.无
2.无
3.无
4.无
5.无
6.无
7.无
8.无
9.无
10.无
11.无
12.无
13.无
14.无
15.无
16.无
17.无
18.无
19.无
20.无
21.无
22.无
23.无
24.无
25.无
26.无
27.无
28.无
29.无
30.无