学年高中数学北师大版必修3章末综合测评3 概文档格式.docx

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2．（2016·

全国卷Ⅱ）从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（　　）

A.　　B.　　

C.　　D.

【解析】　分别确定n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）和m个两数的平方和小于1的数对所在的平面区域，再用随机模拟的方法和几何概型求出圆周率π的近似值．

因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）都在正方形OABC内（包括边界），如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内（不包括扇形圆弧上的点所对应的数对），故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得＝，即＝，所以π＝.

【答案】　C

3．从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是（　　）

A.B.

C.D.

【解析】　所有子集共8个，其中含有2个元素的为{a，b}，{a，c}，{b，c}，所以概率为.

【答案】　D

4．（2016·

山东青岛一模）如图1所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（　　）

图1

【解析】　易知小正方形的边长为－1，故小正方形的面积为S1＝（－1）2＝4－2，大正方形的面积为S＝2×

2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝＝＝.

【答案】　A

5．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4.从这4张卡片中随机抽取2张，则抽取的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（　　）

【解析】　基本事件为（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）共6个，其中两数字之和为奇数的有（1,2），（2,3），（1,4），（3,4），所以概率为.

6．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积不小于的概率是（　　）

【解析】　如图，设点M为AB的三等分点，要使△PBC的面积不小于，则点P只能在AM上选取，由几何概型的概率公式得所求概率＝＝.

7．（2016·

东北八校二模）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（　　）

A.　　　B.　　　

C.　　　D.

【解析】　任意找两人玩这个游戏，共有6×

6＝36种猜数字结果，其中满足|a－b|≤1的有如下情形：

①a＝1，b＝1,2；

②a＝2，b＝1,2,3；

③a＝3，b＝2,3,4；

④a＝4，b＝3,4,5；

⑤a＝5，b＝4,5,6；

⑥a＝6，b＝5,6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.

8．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（　　）

A.B．1－

C.D．1－

【解析】　长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为，取到的点到O的距离大于1的概率为＝1－.

9．设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为（　　）

【解析】　若方程有实根，则a2－8>

0.a的所有取值情况共6种，满足a2－8>

0的有4种情况，故P＝＝.

10．（2016·

石家庄高一检测）有分别写着数字1到120的120张卡片，从中取出1张，这张卡片上的数字是2的倍数或是3的倍数的概率是（　　）

【解析】　是2的倍数的数有60个，是3的倍数的数有40个，是6的倍数的数有20个，∴P＝＝.

11．（2015·

湖北高考）在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则（　　）

A．p1<

p2<

B．p2<

<

p1

C.<

p1D．p1<

p2

【解析】　如图，满足条件的x，y构成的点（x，y）在正方形OBCA内，其面积为1.事件“x＋y≤”对应的图形为阴影△ODE，其面积为×

×

＝，故p1＝<

，事件“xy≤”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于，故p2>

，则p1<

p2，故选D.

12．如图2所示，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝7.现在向该矩形内随机投一点P，则∠APB＞90°

的概率为（　　）

图2

A.B.π

C.πD.

【解析】　由于是向该矩形内随机投一点P，点P落在矩形内的机会是均等的，故可以认为矩形ABCD为区域Ω.要使得∠APB＞90°

，需满足点P落在以线段AB为直径的半圆内，以线段AB为直径的半圆可看作区域A.记“点P落在以线段AB为直径的半圆内”为事件A，于是求∠APB＞90°

的概率转化为求以线段AB为直径的半圆的面积与矩形ABCD的面积的比，依题意，得μA＝π×

2＝，矩形ABCD的面积μΩ＝35，故所求的概率为P（A）＝＝.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）

13．某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，则出现一级品与三级品的概率分别是________，________.

【解析】　由题意知出现一级品的概率是0.98－0.21＝0.77，又由对立事件的概率公式可得出现三级品的概率是1－0.98＝0.02.

【答案】　0.77　0.02

14．如图3的矩形，长为5m，宽为2m，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138粒，则我们可以估计出阴影部分的面积为________m2.

图3

【解析】　由题意得＝，S阴＝.

【答案】　

15．在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；

从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中；

第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，则x＋y是10的倍数的概率为________.【导学号：

63580044】

【解析】　先后两次取卡片，形成的有序数对有（1,1），（1,2），（1,3），…，（1,10），…，（10,10），共计100个．因为x＋y是10的倍数，这些数对应该是（1,9），（2,8），（3,7），（4,6），（5,5），（6,4），（7,3），（8,2），（9,1），（10,10）共10个，故x＋y是10的倍数的概率为P＝＝.

16．（2015·

重庆高考）在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．

【解析】　∵方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，

∴解得<

p≤1或p≥2.

故所求概率P＝＝.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料，若该员工3杯都选对，则评为优秀；

若3杯选对2杯，则评为良好；

否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．

（1）求此人被评为优秀的概率；

（2）求此人被评为良好及以上的概率．

【解】　将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5种饮料中选出3杯的所有可能情况为（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5），共有10种，令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则

（1）P（D）＝.

（2）P（E）＝，P（F）＝P（D）＋P（E）＝.

18．（本小题满分12分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y.

（1）求事件“x＋y≤3”的概率；

（2）求事件“|x－y|＝2”的概率．

【解】　设（x，y）表示一个基本事件，则掷两次骰子包括（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,1），（2,2），…，（6,5），（6,6），共36个基本事件．

（1）用A表示事件“x＋y≤3”，则A的结果有（1,1），（1,2），（2,1），共3个基本事件．

∴P（A）＝＝.

即事件“x＋y≤3”的概率为.

（2）用B表示事件“|x－y|＝2”，

则B的结果有（1,3），（2,4），（3,5），（4,6），（6,4），（5,3），（4,2），（3,1）共8个基本事件．

∴P（B）＝＝.

即事件“|x－y|＝2”的概率为.

19．（本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4,5的五个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．

（1）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；

（2）求取出的两个球上标号之和与标号之积都不小于5的概率．

【解】　设从甲、乙两个盒子中各取出1个球，编号分别为x，y，用（x，y）表示抽取的结果，结果有以下25种：

（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5）．

（1）取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下8种：

（1,2），（2,1），（2,3），（3,2），（3,4），（4,3），（4,5），（5,4），故所求概率为P＝，即取出的两个球上标号为相邻整数的概率为.

（2）标号之和与标号之积都不小于5的结果有以下17种：

（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），故所求概率为P＝，

故取出的两个球上标号之和与标号之积都不小于5的概率是.

20.（本小题满分12分）把一颗骰子抛掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b.试就方程组解答下列各题：

（1）求方程组只有一组解的概率；

（2）求方程组只有正数解（x