高考文科数学复习选修不等式选讲解析版Word文档下载推荐.doc

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　（8）了解证明不等式的基本方法：

比较法,综合法,分析法,反证法,放缩法。

[知识点梳理]

1．两个实数大小关系的基本事实

a>

b⇔________；

a＝b⇔________；

a<

b⇔________.

2．不等式的基本性质

（1）对称性：

如果a>

b，那么________；

如果________，那么a>

b.即a>

（2）传递性：

b，b>

c，那么________．

（3）可加性：

b，那么____________．

（4）可乘性：

b，c>

0，那么________；

b，c<

0，那么________．

（5）乘方：

b>

0，那么an________bn（n∈N，n>

1）．

（6）开方：

0，那么________（n∈N，n>

3．绝对值三角不等式

（1）性质1：

|a＋b|≤________.

（2）性质2：

|a|－|b|≤________.

性质3：

________≤|a－b|≤________.

4．绝对值不等式的解法

（1）含绝对值的不等式|x|<

a与|x|>

a的解集

不等式

a＝0

|x|<

a

|x|>

（2）|ax＋b|≤c（c>

0）和|ax＋b|≥c（c>

0）型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔______________；

②|ax＋b|≥c⇔______________.

（3）|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

5．基本不等式

（1）定理：

如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

（2）定理（基本不等式）：

如果a，b>

0，那么________，当且仅当________时，等号成立．也可以表述为：

两个________的算术平均________________它们的几何平均．

（3）利用基本不等式求最值

对两个正实数x，y，

①如果它们的和S是定值，则当且仅当________时，它们的积P取得最________值；

②如果它们的积P是定值，则当且仅当________时，它们的和S取得最________值．

6．三个正数的算术—几何平均不等式

（1）定理　如果a，b，c均为正数，那么________，当且仅当________时，等号成立．

即三个正数的算术平均____________它们的几何平均．

（2）基本不等式的推广

对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均__________它们的几何平均，即________，

当且仅当________________时，等号成立．

7．柯西不等式

（1）设a，b，c，d均为实数，则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成立．

（2）设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则（a＋a＋…＋a）（b＋b＋…＋b）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2，当且仅当bi＝0（i＝1,2，…，n）或存在一个数k，使得ai＝kbi（i＝1,2，…，n）时，等号成立．

（3）柯西不等式的向量形式：

设α，β是两个向量，则|α·

β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．

8．证明不等式的方法

（1）比较法

①求差比较法

知道a>

b⇔a－b>

0，a<

b⇔a－b<

0，因此要证明a>

b，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法．

②求商比较法

由a>

0⇔>

1且a>

0，b>

0，因此当a>

0时要证明a>

b，只要证明________即可，这种方法称为求商比较法．

（2）分析法

从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的____________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式（已知条件、定理等）．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．

（3）综合法

从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．

（4）反证法的证明步骤

第一步：

作出与所证不等式________的假设；

第二步：

从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．

（5）放缩法

所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地________________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．

（6）数学归纳法

设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：

（1）证明起始命题P1（或P0）成立；

（2）在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立．

[考点题型剖析]

题型一　含绝对值的不等式的解法

【典型例题】

例1-1解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.

思维启迪　本题不等式为|x－a|＋|x－b|≥c型不等式，解此类不等式有三种方法：

几何法、分区间（分类）讨论法和图象法．

规范解答

解　方法一　如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.

[4分]

∴－1－x＋1－x＝3，得x＝－.

同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离之和为3，B1对应数轴上的x，∴x－1＋x－（－1）＝3.∴x＝.

从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都大于3；

点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.[8分]

所以原不等式的解集是∪.[10分]

方法二　当x≤－1时，原不等式可化为

－（x＋1）－（x－1）≥3，解得：

x≤－.[3分]

当－1<

x<

1时，原不等式可以化为

x＋1－（x－1）≥3，即2≥3.不成立，无解．[6分]

当x≥1时，原不等式可以化为

x＋1＋x－1≥3.所以x≥.[9分]

综上，可知原不等式的解集为.[10分]

方法三　将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.

构造函数y＝|x＋1|＋|x－1|－3，

即y＝[3分]

作出函数的图象，如图所示：

函数的零点是－，.

从图象可知，当x≤－或x≥时，y≥0，[8分]

即|x＋1|＋|x－1|－3≥0.

所以原不等式的解集为∪.[10分]

温馨提醒　这三种方法是解|x＋a|＋|x＋b|≥c型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.

例1-2（2012·

课标全国）已知函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|.

（1）当a＝－3时，求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若f（x）≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．

解　

（1）当a＝－3时，f（x）＝

当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2<

3时，f（x）≥3无解；

当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.

所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．

（2）f（x）≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.

当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|

⇔4－x－（2－x）≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.

故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．

思维升华　解绝对值不等式的基本方法：

（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．

例1-3　（2013·

课标全国Ⅰ）已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3.

（1）当a＝－2时，求不等式f（x）<

g（x）的解集；

（2）设a>

－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

审题破题　

（1）可以通过分段讨论去绝对值；

（2）在x∈时去绝对值，利用函数最值求a的范围．

解　

（1）当a＝－2时，不等式f（x）<

g（x）化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3<

0.

设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

则y＝

其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈（0,2）时，y<

0，所以原不等式的解集是

{x|0<

2}．

（2）∵a>

－1，则－<

，

∴f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|

当x∈时，f（x）＝a＋1，

即a＋1≤x＋3在x∈上恒成立．

∴a＋1≤－＋3，即a≤，

∴a的取值范围为.

【变式训练】

1．（2013·

重庆）若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<

a无解，则实数a的取值范围是____．

答案　（－∞，8]

解析　∵|x－5|＋|x＋3|＝|5－x|＋|x＋3|

≥|5－x＋x＋3|＝8，

∴（|x－5|＋|x＋3|）min＝8，

要使|x－5|＋|x＋3|<

a无解，只需a≤8.

2．（2013·

江西）在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．

答案　[0,4]

解析　由||x－2|－1|≤1得－1≤|x－2|－1≤1，

解得0≤x≤4.

∴不等式的解集为[0,4]．

3．（2012·

山东）若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.

答案　2

解析　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.

∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.

4[2014·

江西卷]x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________．

答案　[0，2]　

5.不等式≥1的实数解为__________．

答案　.

解析　∵≥1，∴|x＋1|≥|x＋2|.

∴x2＋2x＋1≥x2＋4x＋4，∴2x＋3≤0.

∴x≤－且x≠－2.

6.已知函数f（x）＝|x＋1|＋|x－2|－m.

（1）当m＝5时，求f（x）>

0的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．

解　

（1）由题设知|x＋1|＋|x－2|>

5，

不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：

或或

解得函数f（x）的定