313 可线性化的回归分析.docx
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313可线性化的回归分析
3.1.3 可线性化的回归分析
课标解读
1.通过对典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法和初步应用．
2．结合具体的实际问题，了解可线性化回归分析问题的解题思路．
3．体会回归分析在生产实际和日常生活中的广泛应用.
常见曲线的线性化
【问题导思】
1．函数y＝axb两边取自然对数，结果如何？
【提示】 lny＝lna＋blnx.
2．对上述问题作适当变换，得出一个线性函数．
【提示】 令u＝lny，v＝lnx，c＝lna，则u＝c＋bv.
3．作变换，将函数y＝aebx线性化．
【提示】 ∵y＝aebx，
∴lny＝lna＋bx，
∴作变换：
u＝lny，c＝lna，则u＝c＋bx.
4．作变换，将函数y＝ae线性化．
【提示】 ∵y＝ae，∴lny＝lna＋，
∴作变换u＝lny，c＝lna，v＝，则u＝c＋bv.
5．作变换，将函数y＝a＋blnx线性化．
【提示】 ∵y＝a＋blnx，
∴作变换v＝lnx，则y＝a＋bv.
对于非线性回归模型一般可转化为线性回归模型，从而得到相应的回归方程．常见的有：
（1）幂函数曲线y＝axb，则作变换u＝ln_y，v＝ln_x，c＝ln_a，得线性函数u＝c＋bv.
（2）指数曲线y＝a·ebx，则作变换u＝lny，c＝lna，得线性函数u＝c＋bv.
（3）倒指数曲线y＝ae，则作变换u＝lny，c＝lna，v＝，得线性函数u＝c＋bv.
（4）对数曲线y＝a＋blnx，则作变换v＝lnx，得线性函数y＝a＋bv.
已知模拟函数求其解析式
某地今年上半年患某种传染病人数y与月份x之间满足的函数关系模型为y＝aebx，确定这个函数解析式．
月份x
1
2
3
4
5
6
人数y
52
61
68
74
78
83
【思路探究】 函数模型为指数型函数，可转化为线性函数，从而求出．
【自主解答】 设u＝lny，c＝lna，则u＝c＋bx.
由已知得下表：
x
1
2
3
4
5
6
u＝lny
3.9512
4.1109
4.2195
4.304
4.3567
4.4188
xi＝21，ui≈25.3611，x＝91，u≈107.3467，xiui≈90.3438，＝3.5，≈4.2269，
b＝＝≈0.0902，
c＝－b＝4.2269－0.0902×3.5＝3.9112，
∴u＝3.9112＋0.0902x，
∴y＝e3.9112·e0.0902x.
基础函数模型为指数函数型，可两边取对数转化为线性函数关系式，求出回归方程．
在彩显影中，由经验可知：
形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式y＝Ae（b<0）表示．现测得试验数据如下：
xi
0.05
0.06
0.25
0.31
0.07
0.10
0.38
0.43
0.14
0.20
0.47
yi
0.10
0.14
1.00
1.12
0.23
0.37
1.19
1.25
0.59
0.79
1.29
试求y对x的回归方程．
【解】 由题意知，对于给定的公式y＝Ae（b<0）两边取自然对数，得lny＝lnA＋.
与线性回归方程相对照可以看出，只要取u＝，v＝lny，a＝lnA，就有v＝a＋bu.这是v关于u的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求出回归系数b和a.题目中所给出的数据由变量置换u＝，v＝lny，得到如下数据：
ui
20.000
16.667
4.000
3.226
14.286
10.000
2.632
2.326
7.143
5.000
2.128
vi
－2.303
－1.966
0.000
0.113
－1.470
－0.994
0.174
0.223
－0.528
－0.236
0.255
可以求得：
r≈0.998.
由于|r|≈0.998接近于1，可知u和v具有很强的线性相关性．再求出b≈－0.146，a≈0.548.
所以A＝ea＝e0.548，y＝e0.548e＝e0.548－.
可线性化的回归分析的应用
、
某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高x/cm
60
70
80
90
100
110
体重y/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高x/cm
120
130
140
150
160
170
体重y/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）画出散点图；
（2）能否建立适当的函数模型使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？
试写出这个函数模型的解析式；
（3）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
【思路探究】 可先依据表中数据画出散点图，从图中观察探究其适合那种函数模型，确定函数模拟，作变换转化为有线性相关关系的量，再由公式计算所求量．
【自主解答】
（1）作出散点图如下
（2）从散点图可看出函数曲线符合指数曲线y＝aebx.
设u＝lny，c＝lna，则u＝c＋bx.
x
60
70
80
90
100
110
u
1.8132
2.0669
2.3016
2.4973
2.7094
2.8622
x
120
130
140
150
160
170
u
3.0407
3.2906
3.4375
3.6597
3.8555
4.0082
xi＝1380，ui＝35.5428，x＝173000，xiui＝4369.283，
＝115，＝2.9619，b＝
＝≈0.0196，c＝－b＝2.9619－0.0196×115＝0.7079，
∴u＝0.7079＋0.0196x，y＝e0.7079·e0.0196x.
（3）∵x＝175时，u＝4.1379，
∴y＝eu＝e4.1379≈62.6711.
≈1.245>1.2，此男子偏胖．
1．在实际问题中，当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，不能用线性回归方程描述它们之间的相关关系，需要进行非线性回归分析．
2．可线性化的回归分析：
非线性回归问题的非线性回归方程一般很难求，因此把非线性回归化线性回归是解决问题的好方法；把非线性回归化为线性回归，再利用线性回归的方法确定参数a及b的估计值．
寒假中，某同学为组织一次爱心捐款，于2013年2月1日在网上给网友发了张帖子，并号召网友转发，下表是发帖后一段时间的收到帖子的人数统计
天数x
1
2
3
4
5
6
7
人数y
7
11
21
24
66
115
325
（1）作出散点图，并猜测x与y之间的关系；
（2）建立x与y的关系，预报回归模型；
（3）如果此人打算在2013年2月12日（即帖子传播时间共10天）进行募捐活动，根据上述回归模型，估计可去多少人．
【解】
（1）散点图略．从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，同时可发现样本点分布在某一个指数函数曲线y＝kemx的周围，其中k、m是参数．
（2）对y＝kemx两边取对数，把指数关系变成线性关系．令z＝lny，则变换后的样本点分布在直线z＝bx＋a（a＝lnk，b＝m）的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立x与y之间的非线性回归方程了，数据可以转化为
天数x
1
2
3
4
5
6
7
人数y
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784
求得回归直线方程为z＝0.620x＋1.133，
∴y＝e0.620x＋1.133.
（3）截止到2013年2月12日，x＝10，此时y＝e0.620×10＋1.133≈1530（人）．
∴估计可去1530人.
转化与化归思想在可线性化
的回归分析中的应用
下表为收集到的一组数据：
x
21
23
25
27
29
32
35
y
7
11
21
24
66
115
325
（1）作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；
（2）建立x与y的关系，预报回归模型；
（3）利用所得模型，预报x＝40时y的值．
【思路点拨】
（1）可直接依据表中数据画出散点图；
（2）可利用换元法，将两个变量转化为两个新的变量且成线性关系；得出关系式，再转化为x，y的关系式；（3）利用
（2）中的式子，即可求出．
【规范解答】
（1）作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1、c2为待定的参数．
（2）对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝lny，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，a＝lnc1，b＝c2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：
x
21
23
25
27
29
32
35
z
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784
求得回归直线方程为z＝0.272x－3.849，
∴y＝e0.272x－3.849.
（3）当x＝40时，y＝e0.272x－3.849≈1131.
在寻找两变量之间的关系时，通过散点图先确定其关系满足的函数模型，如果不满足线性关系，则通过换元转化为线性关系，求出新元的关系式，再转化为原来的两个变量的关系．
可化为线性回归的几种常用曲线
（1）幂函数曲线y＝axb；
（2）指数函数曲线y＝akbx；
（3）倒指数曲线y＝a·e；
（4）对数曲线y＝a＋blnx.
1．对于指数曲线y＝aebx方程，令u＝lny，c＝lna经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为（ ）
A．u＝c＋bx B．u＝b＋cx
C．y＝b＋cxD．y＝c＋bx
【解析】 对指数曲线y＝aebx方程两边同时取对数，然后将u＝lny，c＝lna代入，不难得出u＝c＋bx.
【答案】 A
2．指数曲线y＝aebx的图像可以是（ ）
【解析】 ∵y＝aebx为指数曲线，
∴y>0恒成立，∴排除选项C.
又∵x∈R，∴A、D错误．
【答案】 B
3．x，y的取值如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
y
0.04
0.36
1
1.4
1.9
2.5
3.2
3.98
4.82
则x、y之间的关系可以选用函数________进行拟合．
【解析】 作出散点图
从图中可以看出，可选用y＝x2来进行拟合．
【答案】 y＝x2
4．在试
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