数值分析Hilbert矩阵病态线性方程组的求解Matlab程序Word文件下载.docx

数值分析Hilbert矩阵病态线性方程组的求解Matlab程序Word文件下载.docx

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H=hilb（i）;

y1（i）=log（cond（H））;

end

plot（x1,y1）;

xlabel（'

阶数n'

）;

ylabel（'

2-条件数的对数（log（cond（H））'

title（'

2-条件数的对数（log（cond（H））与阶数n的关系图'

t2=200;

%阶数n=200

x2=1:

t2;

y2=1:

t2

y2（i）=log（cond（H））;

plot（x2,y2）;

画出Hilbert矩阵2-条件数的对数和阶数的关系

n=200时

n=20时

从图中可以看出，

1）在n小于等于13之前，图像近似直线

log（cond（H））~1.519n-1.833

2）在n大于13之后，图像趋于平缓，并在一定范围内上下波动，同时随着n的增加稍有上升的趋势

第2小题：

solve.m%m第2小题主程序

N=4000;

xGauss=zeros（N,1）;

xJacobi=zeros（N,1）;

xnJ=zeros（N,1）;

xGS=zeros（N,1）;

xnGS=zeros（N,1）;

xSOR=zeros（N,1）;

xnSOR=zeros（N,1）;

xCG=zeros（N,1）;

xnCG=zeros（N,1）;

forn=1:

N;

x=ones（n,1）;

t=1.1;

%初始值偏差

x0=t*x;

%迭代初始值

e=1.0e-8;

%给定的误差

A=hilb（n）;

b=A*x;

max=100000000000;

%可能最大的迭代次数

w=0.5;

%SOR迭代的松弛因子

G=Gauss（A,b）;

[J,nJ]=Jacobi（A,b,x0,e,max）;

[GS,nGS]=G_S（A,b,x0,e,max）;

[S_R,nS_R]=SOR（A,b,x0,e,max,w）;

[C_G,nC_G]=CG（A,b,x0,e,max）;

normG=norm（G'

-x）;

xGauss（n）=normG;

normJ=norm（J-x）;

nJ;

xJacobi（n）=normJ;

xnJ（n）=nJ;

normGS=norm（GS-x）;

nGS;

xGS（n）=normGS;

xnGS（n）=nGS;

normS_R=norm（S_R-x）;

nS_R;

xSOR（n）=normS_R;

xnSOR（n）=nS_R;

normC_G=norm（C_G-x）;

nC_G;

xCG（n）=normC_G;

xnCG（n）=nC_G;

Gauss.m%Gauss消去法

functionx=Gauss（A,b）

n=length（b）;

l=zeros（n,n）;

x=zeros（1,n）;

%消去过程

n-1

forj=i+1:

n

l（j,i）=A（j,i）/A（i,i）;

fork=i:

A（j,k）=A（j,k）-l（j,i）*A（i,k）;

end

b（j）=b（j）-l（j,i）*b（i）;

%回代过程

x（n）=b（n）/A（n,n）;

fori=n-1:

-1:

1

c=A（i,:

）.*x;

x（i）=（b（i）-sum（c（i+1:

n）））/A（i,i）;

Jacobi.m%Jacobi迭代,x0表示迭代初值,e表示允许误差（迭代停止条件）,n表示迭代次数,m可能最大的迭代次数

function[x,n]=Jacobi（A,b,x0,e,m）

n=length（A）;

D=diag（diag（A））;

U=-triu（A,1）;

L=-tril（A,-1）;

B=D\（L+U）;

f=D\b;

x=B*x0+f;

n=1;

whilenorm（x-x0）>

e

x0=x;

x=B*x0+f;

n=n+1;

ifn>

m

disp（'

Jacobi迭代次数过多，迭代可能不收敛'

break;

G_S.m%Gauss-Seidel迭代,x0表示迭代初值,e表示允许误差（迭代停止条件）,n表示迭代次数,m可能最大的迭代次数

function[x,n]=G_S（A,b,x0,e,m）

B=（D-L）\U;

f=（D-L）\b;

Gauss-Seidel迭代次数过多，迭代可能不收敛'

SOR.m%SOR超松弛迭代,x0表示迭代初值,e表示允许误差（迭代停止条件）,n表示迭代次数,m可能最大的迭代次数,w松弛因子

function[x,n]=SOR（A,b,x0,e,m,w）

B=（D-w*L）\（（1-w）*D+w*U）;

f=（D-w*L）\b*w;

SOR超松弛迭代次数过多，迭代可能不收敛'

CG.m%CG共轭梯度法,x0表示迭代初值,e表示允许误差（迭代停止条件）,n表示迭代次数,m可能最大的迭代次数

function[x,n]=CG（A,b,x0,e,m）

r=b-A*x0;

p=r;

alpha=（r'

*r）/（p'

*（A*p））;

x=x0+alpha*p;

r1=b-A*x;

whilenorm（r1）>

belta=（r1'

*r1）/（r'

*r）;

p=r1+belta*p;

r=r1;

alpha=（r'

x=x0+alpha*p;

r1=b-A*x;

CG共轭梯度法迭代次数过多，迭代可能不收敛'