年全国高考数学试题及其解析Word文档格式.doc
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lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720
lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060
八.(本题满分15分)
ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱,过A、C、B1三点作一截面,求证:
截面ACB1⊥对角面DBB1D1
九.(本题满分18分)
1.设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为,求k的值
2.以本题
(1)得到的弦为底边,以x轴上的点P为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时,求P的坐标
理工农医类
一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:
(1)A∪B,
(2)A∩B.
二、在A、B、C、D四位候选人中,
(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?
写出所有可能的选举结果;
(2)如果选举班委三人,共有几种选法?
写出所有可能的选举结果.
三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.
四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.
五、解不等式(x为未知数):
六、用数学归纳法证明等式
对一切自然数n都成立.
七、设1980年底我国人口以10亿计算.
(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?
(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?
下列对数值可供选用:
lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417
lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720
lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060
八、在120°
的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.
(1)求直线AB和棱a所成的角;
(2)求直线AB和平面Q所成的角.
(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.
(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?
这样的直线m如果存在,求出它的方程;
如果不存在,说明理由.
十、附加题:
计入总分.
已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).
设AC=a,BC=b,作数列
U1=a-b,
U2=a2-ab+b2,
u3=a3-a2b+ab2-b3,
……,
Uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;
求证:
un=un-1+un-2(n≥3).
文史类参考答案及解析
一、解:
1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ
二、解:
原式=
三、解:
1.选举种数P42=12(种)所有可能的选举结果:
AB、AC、AD、BC、BD、CD、
BA、CA、DA、CB、DB、DC
2.选举种数C43=4(种)所有可能的选举结果:
ABC、ABD、ACD、BCD
四、解:
五、答:
证:
引AD垂直BC于D;
引BE垂直CA的延长线于E
设△ABC的面积为S,则
将上式除以得:
六、解:
设AC中点为M(x,y),则有
又设AC斜率为k,则k=3因此得BD的斜率为
故有直线BD的方程:
又以M点为圆心,|MA|为半径的圆的方程为
解方程
(1)、
(2)得B、D的坐标为(4,1)及(-2,3)
(注:
用复数法解亦可)
七、解:
1.所求人口数x(亿)是等比数列
10,10×
1.02,10×
(1.02)2,……的第21项,即
x=10×
(1.02)20,
两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,
∴x=14.859(亿)
2.设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得
10×
(1+y%)20≤12,
(1+y%)20≤1.2.
根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得
20lg(1+y%)≤lg1.2.
即lg(1+y%)≤0.00396.
∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.
答:
略
八、证:
设AC、BD交于O点
作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1的图形由于AC1是正四棱柱,所以ABCD是正方形,故AC⊥BD;
又BB1⊥底面ABCD,故BB1⊥AC∴AC⊥对角面BB1D1D
已知AC在截面ACB1内,故有
截面ACB1⊥对角面BB1D1D
九、解:
设直线与抛物线的交点为
P1(x1,y1),P2(x2,y2).解方程组:
2.设x轴上一点P的坐标为(,0)又点P到直线P1P2的距离为h,则有
依题意得△PP1P2的面积关系:
则P(5,0)或P(-1,0)
理工农医类参考答案
一、解:
(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)
(2)A∩B=.(或A∩B={},或A∩B=空集.)
二、解:
所有可能的选举结果:
(把正班长、副班长按次序来写)
AB,AC,AD,BC,BD,CD,
BA,CA,DA,CB,DB,DC.
ABC,ABD,ACD,BCD.
三、解:
(1)必要条件
(2)充分条件
(3)充分条件
(4)充要条件
四、公式:
设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.
证法一:
平面几何证法.
如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得
a2=CD2+DB2
=(bsinA)2+(c-bcosA)2
=b2+c2-2bccosA.
如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得
a2=CD2+BD2
=[bsin(180°
-A)]2+[c+bcos(180°
-A)]2
如果∠A是直角,cosA=0,
∴ a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.
证法二:
解析几何证法
以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得
A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).
由两点间的距离公式得
a2=│BC│2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2
五、解:
原行列式可逐步简化如下:
故原不等式为
x2(x-a-b-c)>
0.
原不等式的解是
x≠0,x>
a+b+c.
所以当n=1时等式成立.
(ii)假设当n=k时等式成立,即
所以当n=k+1时等式也成立.
根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.
七、解:
(1)所求人口数x(亿)是等比数列10,10×
1.02,10×
(1.02)2,……的第21项,即
两边取对数,得
lgx=1+20lg1.02=1.17200,
∴ x=14.859(亿).
答:
到2000年底我国人口将达到14.859亿.
(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得
(1+y%)20≤12,
即 (1+y%)20≤1.2.
根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得
即 lg(1+y%)≤0.00396.
∴ 1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.
每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.
八、解:
(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;
在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.
∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,
∴∠ADC=120°
.又AD=2,BCDE为矩形,
∴CD=BE=4.
连结AC,由余弦定理得
又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.
直线AB和棱a所成的角等于
(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°
AD=2,
连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以
直线AB和平面Q所成的角为
九、解法一:
(1)设直线l的方程为
y=k(x-2)+1, (i)
将(i)式代入双曲线方程,得
(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)
到此,若指出所求轨迹的参数方程是
这就是所要求的轨迹方程.
(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得
(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, (iii)
由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解.
满足题中条件的直线m不存在.
解法二:
(1)设l的参数方程为
其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得:
(2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)
(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.
十、证法一:
通项公式可写为
uk=ak-ak-1b+ak-2b2-…+(-1)kbk
因 a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,
ab=AC·
BC=CD2=1.
于是有
由平面几何知识算出
要证un=un-1+un-2成立,只要证明
an+1-(-1)n+1bn+1=an-(-1)nbn+an-1-(-1)n-1bn-1,
即
an-1·
a2-(-1)n-1bn-1·
b2=an-1·
a+(-1)n-1bn-1·
b+an-1-(-1)n-1bn-1,
或
上式确是等式,故证得
un=un-1+un-2.