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定义循环：

在定义项中间接出现了被定义项。

③定义项必须用清楚确切的概念。

定义含混；

在定义项中使用了含混不清的概念。

以比喻代定义：

定义项用了形象比喻。

④定义联项不能是否定的。

定义用否定联项。

划分的规则：

①划分必须是相应相称的（划分子项的外延之和等于划分母项的外延）。

划分不全：

子项的外延之和小于母项的外延。

多出子项：

子项的外延之和大于母项的外延。

②划分的子项互相排斥（子项之间是全异关系）③每次划分的根据必须同一（每次划分按照同一个标准进行）。

所犯错误：

混淆根据。

限制遵守的规则：

①必须是由属概念推演到种概念②对于单独概念不能限制。

概括遵守的规则：

①每一次概括必须是由种概念推演到属概念。

②哲学范畴不能概括。

逻辑方阵：

①简单真值模态判断之间的真假关系②简单规范模态判断之间的对当关系。

概念

（Notion，Concept）

概念是对群体事物进行分类过程中，抽象普遍具体事物的中共同本质特性作为具体事物的存在属性的标识，而这个本质特性对于这一类具体事物是它们的共同属性，对于其他事物则是本质上的差异。

概念作为人类认识世界的工具单元，知识单元存在内涵与外延。

概念内涵就是它定义的本质特性。

概念外延就是它所映射的具有同一本质属性的全部事物的集合。

由此可见概念内涵是全部同类事物的交集。

没有交集的事物不在同一概念之下。

它仅仅在事物这个大的集合里面。

由上所述，概念所映射的事物之间，存在某类属性的同一性，同时它反应的仅仅是所界定的属性，而事物属性存在多维度的，所以概念所映射的具体事物又彼此存在其他属性的差异，即使完全相同的事物也至少存在不少于一个维度的属性差异。

由此概念是通过共性来抽象统一的，通过映射到具体事物而区分的。

比如集合（f1（a）,f2（a,b）,f3（a,b,c）,….fn（a,b,c…an））可以定义为a的变量函数。

诸多函数具有一个本质的变量a,a就是这个a的变量函数，这一概念抽象的内涵，而集合（f1（a）,f2（a,b）,f3（a,b,c）,….fn（a,b,c…an））就是它的外延。

概念的分类：

属性概念，类概念，个体概念，特性概念，状态概念，运动概念，模态概念，关系概念

属性包括：

有与无，运动、质、量、度，态、形、向、秩序（时间，位置，运动，从属）等等。

类概念：

是对于具有某属性的同一性事物的归于一类，而忽略具体的其他属性差异的概念。

个体概念：

是外延只有一个具体的事物的概念，一般是指类概念集合中的某一具体的事物的概念，或者说无法归类的某一特定事物的具体概念。

比如地球，李四，小安子这样一个具体的唯一的事物。

个体本质是唯一的，又是具象化的。

处在外延大于一的集合里面的个体，具有普遍性同时，又具有特异性。

也就是它既是一个抽象概念，同时又是一个具象概念。

属性概念：

类概念是按属性来归类的，属性是在不同维度上的，同时又都存在于具体事物之中，一切概念都是通过属性来区分的，属性概念就是对于属性的界定的概念。

也就是一切概念都归属于属性这一概念的集合里面。

运动概念：

是描述运动的概念，是指运动的本身如，走，跑，飞，扑，听，说，读，写，吞，吐，吸引，排斥，散，聚。

。

等等。

它具有即时性，是变化的，非恒常的。

状态概念：

是描述运动的态的类别的概念：

它与运动概念存在一点点差异，虽然都是描述运动的，但是状态概念具有一定的时间段的恒常性，走着，跑着，飞着，扑着，听着，说着，读着，写着，吞着，吐着，吸引着，排斥着，散着，聚着。

等等

模态概念：

是指事物运动趋向与趋势的概念，如：

恒常，必然，偶然，或然，随机，可逆，不可逆等等

关系概念：

是指事物间的关系的概念，正，反，异，同，从属，秩序，位置的关系，先后的时间，方向关系，大小关系，强弱关系，因果关系等等。

特性概念：

是事物的特有功能的概念，它在功能上可以映射到具体的运动与状态等概念，比如：

（收割机，缝纫机，粉碎机）这些概念是通过它映射到的特有功能来区别的。

它与个体概念存在相同点，因为差异而区别的，特性概念，仅仅就特性这一属性而言的，它能够涵括个体概念。

就是说，比如收割机，如果直接映射到某一台机器上，每台机器又具有个体的差别，同时又具有共同的同一性。

就是说个体是唯一的。

以上分类的八种概念又可以分为两类：

普遍概念与单独概念，单独概念就是指个体概念，而其他的均是普遍概念。

它们又同时是集合概念。

其他还存在不同的分类就不一一阐述了。

集合

集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。

集合概念最先是数学上的应用，但是，它依然可以应用到普泛的概念之中，所以这里的集合不是纯粹的数学方面的应用，有一类特殊的集合，它不包含任何元素，如{x|x∈Rx²

+1=0}称之为空集，记为∅。

集合M中不同元素的数目称为集合M的基数，记作card（M）。

当其为有限大时，集合M称为有限集，反之则为无限集。

集合子集∶S,T是两个集合，如果S的所有元素都属于T，即x∈S⇒x∈T则称S是T的子集,记为ST,对任何集合S，都有SS,∅S。

如果S是T的一个子集，ST，但在T中存在一个元素x不属于S,称S是T的一个真子集。

空集∅是任意一个非空集合的真子集。

集合相等∶S,T是两个集合的元素完全相同记为S=T，则S=T⇔ST∧TS

∈称为属于，⇔称为当且仅当，表示左边的命题与右边的命题相互蕴含，即两个命题等价。

　　其中符号∈称为属于，即表示由左边的命题可以推出右边的命题，则称S是T的子集，

并集：

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。

并集越并越多。

交集：

由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。

交集越交越少。

若A包含B，则A∩B=B，A∪B=A

相对补集：

由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作A-B或A\B，即A-B={x|x∈A，且x∉B＇}

绝对补集：

A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集，记作A＇或∁u（A）或~A。

·

U＇=Φ；

Φ＇=U

集合幂集定义：

设有集合A，由集合A所有子集组成的集合，称为集合A的幂集。

定理：

有限集A的幂集的基数等于2的有限集A的基数次幂。

集合运算律

交换律：

A∩B=B∩A；

A∪B=B∪A

结合律：

A∪（B∪C）=（A∪B）∪C；

A∩（B∩C）=（A∩B）∩C

分配对偶律：

A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）；

A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）

对偶律：

（A∪B）∧C=A∧C∩B∧C；

（A∩B）∧C=A∧C∪B∧C

同一律：

A∪∅=A；

A∩U=A

求补律：

A∪A＇=U；

A∩A＇=∅

对合律：

A＇＇=A

等幂律：

A∪A=A；

A∩A=A

零一律：

A∪U=U；

A∩∅=∅

吸收律：

A∪（A∩B）=A；

A∩（A∪B）=A

德·

摩根律（反演律）：

（A∪B）＇=A＇∩B＇；

（A∩B）＇=A＇∪B＇

摩根律：

1.集合A与集合B的交集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的并集;

2.集合A与集合B的并集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的交集。

容斥原理（特殊情况）：

card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）

card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（B∩C）-card（C∩A）+card（A∩B∩C）

集合无序性：

一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。

集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。

但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。

集合确定性：

给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

集合互异性：

一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。

有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。

集合模糊集：

用来表达模糊性概念的集合，又称模糊子集。

普通的集合是指具有某种属性的对象的全体。

这种属性所表达的概念应该是清晰的，界限分明的。

因此每个对象对于集合的隶属关系也是明确的，非此即彼。

但在人们的思维中还有着许多模糊的概念，模糊集合就是指具有某个模糊概念所描述的属性的对象的全体。

集合表示方法：

假设x<

y，①[x，y]：

中括号表示包括边界数字，即表示大于等于x小于等于y。

②（x，y）：

小括号是不包括边界，即表示大于x小于y

集合区间∶通常数学分析中使用到定义域，也就是实数集的子集是区间。

设a,b（a<

b）是两个相异的实数∶①则满足不等式a<

x<

b的所有实数x的集合称为以a,b为端点的开区间，记为（a,b）=﹛x:

a<

b﹜②满足不等式a≤x≤b的所有实数的集合称为以a,b为端点的闭区间,记为[a,b]=﹛x:

a≤x≤b﹜③满足不等式a<

x≤b,记为（a,b]=﹛x:

x≤b﹜

④满足不等式a≤x<

b,记为[a,b）=﹛x:

a≤x<

b﹜,③与④均是a,b为端点的半开半闭区间

⑤以下几类为无限区间：

（a,∞）=﹛x:

x＞a﹜；

（-∞,b）=﹛x:

x＜b﹜；

[a,∞）=﹛x:

x≥a﹜；

（-∞,b]=﹛x:

x≤b﹜；

（-∞,∞）=R

集合的列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。

如某正整数集N﹢=﹛1,2,3…n…﹜.

某整数集M=﹛0，±

1,±

2,±

3…±

n…﹜等等。

集合的描述法：

{代表元素|满足的性质}如下：

某集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：

S={x|P（x）}

集合符号法

N：

非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}；

N*或N+：

正整数集合{1,2,3,…}

Z：

整数集合{…,-1,0,1,…}

Q：

有理数集合；

Q+：

正有理数集合；

Q-：

负有理数集合。

R：

实数集合（包括有理数和无理数）；

R+：

正实数集合；

R-：

负实数集合

C：

复数集合

∅：

空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集）

集合悖论的化解

弗雷格提出集合悖论：

“现在让我们集中注意这个概念：

不属于自身的类。

因此这个概念的外延（如