高中数学第二单元圆锥曲线与方程章末复习课教学案新人教B版选修11文档格式.docx

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封闭图形

无限延展，但有渐近线y＝±

x或y＝±

x

无限延展，没有渐近线

变量范围

|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b

|x|≥a或|y|≥a

x≥0或x≤0或y≥0或y≤0

对称性

对称中心为原点

无对称中心

两条对称轴

一条对称轴

顶点

四个

两个

一个

离心率

e＝，且0<

e<

1

e＝，且e>

e＝1

决定形状的因素

e决定扁平程度

e决定开口大小

2p决定开口大小

知识点二　椭圆的焦点三角形

设P为椭圆＋＝1（a>

0）上任意一点（不在x轴上），F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形（如图）．

（1）焦点三角形的面积S＝b2tan.

（2）焦点三角形的周长L＝2a＋2c.

知识点三　双曲线及渐近线的设法技巧

1．由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：

把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线－＝1（a>

0）的渐近线方程为－＝0（a>

0），即y＝________；

双曲线－＝1（a>

0），即y＝________.

2．如果双曲线的渐近线方程为±

＝0，它的双曲线方程可设为________________．

知识点四　求圆锥曲线方程的一般步骤

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．

（1）定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．

（2）定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1（m>

0，n>

0）．

（3）定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．

知识点五　三法求解离心率

1．定义法：

由椭圆（双曲线）的标准方程可知，不论椭圆（双曲线）的焦点在x轴上还是y轴上，都有关系式a2－b2＝c2（a2＋b2＝c2）以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．

2．方程法：

建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．

3．几何法：

求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆（双曲线）的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．

知识点六　直线与圆锥曲线的位置关系

1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：

一是相切；

二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．

2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；

还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．

类型一　圆锥曲线的定义及应用

例1　已知椭圆＋y2＝1（m>

1）和双曲线－y2＝1（n>

0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．随m，n变化而变化

反思与感悟　涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．

跟踪训练1　抛物线y2＝2px（p>

0）上有A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则（　　）

A．x1，x2，x3成等差数列

B．y1，y2，y3成等差数列

C．x1，x3，x2成等差数列

D．y1，y3，y2成等差数列

类型二　圆锥曲线的方程及几何性质

命题角度1　求圆锥曲线的方程

例2　已知双曲线－＝1（a>

0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p>

0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p等于（　　）

A．1B.C．2D．3

反思与感悟　一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．

（3）定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系．

跟踪训练2　设抛物线C：

y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点A（0,2），则C的方程为（　　）

A．y2＝4x或y2＝8x

B．y2＝2x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16x

D．y2＝2x或y2＝16x

命题角度2　求圆锥曲线的离心率

例3　如图，F1、F2是椭圆C1：

＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．

反思与感悟　求圆锥曲线离心率的三种方法

（1）定义法：

由椭圆（双曲线）的标准方程可知，不论椭圆（双曲线）的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2（a2＋b2＝c2）以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．

（2）方程法：

（3）几何法：

跟踪训练3　已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．

类型三　直线与圆锥曲线的位置关系

例4　已知椭圆＋＝1（a>

0）上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M（0，）满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．

反思与感悟　解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：

（1）函数法：

用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．

（2）不等式法：

根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．

跟踪训练4　如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且与n＝（，－1）共线．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

1．在方程mx2－my2＝n中，若mn<

0，则方程表示（　　）

A．焦点在x轴上的椭圆

B．焦点在x轴上的双曲线

C．焦点在y轴上的椭圆

D．焦点在y轴上的双曲线

2．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（　　）

A．2B.

C.D.

3．设椭圆＋＝1（m>

0）的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px（p>

0）上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是（　　）

A．2pB．4p

C．6pD．8p

5．过抛物线y2＝4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于________．

在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题．

答案精析

知识梳理

知识点三

1．±

x　±

2.－＝λ（λ≠0）

题型探究

例1　B　[设P为双曲线右支上的一点．

对于椭圆＋y2＝1（m>

1），c2＝m－1，

|PF1|＋|PF2|＝2，

对于双曲线－y2＝1，c2＝n＋1，

|PF1|－|PF2|＝2，

∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，

|F1F2|2＝（2c）2＝2（m＋n），

而|PF1|2＋|PF2|2＝2（m＋n）＝（2c）2

＝|F1F2|2，

∴△F1PF2是直角三角形，故选B.]

跟踪训练1　A　[如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义可知

|AF|＝|AA′|，

|BF|＝|BB′|，

|CF|＝|CC′|.

∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，

∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.

又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，

|CC′|＝x3＋，

∴2（x2＋）＝x1＋＋x3＋

⇒2x2＝x1＋x3，

故选A.]

例2　C　[双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±

x，y2＝2px的准线方程为x＝－.

∵双曲线的离心率为2，

∴e＝＝2，

即＝±

，

∴渐近线方程为y＝±

x，

由得y＝－p，

∴|AB|＝p，

S△OAB＝×

×

p＝，

解得p＝2.]

跟踪训练2　C　[由抛物线C的方程为

y2＝2px（p＞0），

知焦点F（，0）．

设M（x，y），由抛物线性质|MF|＝x＋＝5，

可得x＝5－.

因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心横坐标为＝.

由已知，得圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0,2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，

则M（5－，4），代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.

所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]

例3　

解析　由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，

|F1F2|＝2.

因为四边形AF1BF2为矩形，

所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，

所以2|AF1||AF2|＝（|AF1|＋|AF2|）2－（|AF1|2＋|AF2|2）＝16－12＝4，

所以（|AF2|－|AF1|）2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·

|AF2|＝12－4＝8，

所以|AF2|－|AF1|＝2，

因此对于双曲线有a＝，c＝，

所以C2的离心率e＝＝.

跟踪训练3　

解析　抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，又△FAB为直角三角形，则只有∠AFB＝90°

，如图，则A（－1,2）应在双曲线上，代入双曲线方程可得a2＝，

于是c＝

＝.

故e＝＝.

例4　解　

（1）由题意知，

|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，

所以a＝.

又因为e＝＝，

所以c＝×