中考专题浙江中考数学复习方法技巧专题0945 角与正切值含答案Word格式.docx

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三、解答题

5．如图F9－5，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，2，.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q.

（1）求证：

△APP′是等腰直角三角形；

（2）求∠BPQ的大小；

（3）求CQ的长．

图F9－5

6．如图F9－6，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A（－1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B.

（1）求抛物线的解折式；

（2）已知点D（m，m＋1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；

（3）在

（2）的条件下，连结BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°

，求点P的坐标．

图F9－6

7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C.其中A（1，0），C（0，－3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图F9－7，若点P在抛物线上运动（点P异于点A），当∠PCB＝∠BCA时，求直线CP的解析式．

图F9－7

8．如图F9－8，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.

（2）若存在点P，使∠PCF＝45°

图F9－8

9．如图F9－9，抛物线y＝x2－4x＋3与坐标轴交于A、B、C三点，点P在抛物线上，PD⊥BC于点D，垂足D在线段BC上．若＝，求点P的坐标．

图F9－9

参考答案

1．A　[解析]过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，

∵N在直线y＝x＋3上，∴设N的坐标是（x，x＋3），

则DN＝x＋3，OD＝－x.y＝x＋3，

当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝－4，

∴A（－4，0），B（0，3），即OA＝4，OB＝3，

在△AOB中，由勾股定理得AB＝5，

∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：

AO×

OB＝AB×

OC，∴3×

4＝5OC，∴OC＝.

∵在Rt△NOM中，OM＝ON，∠MON＝90°

，∴∠MNO＝45°

，

∴sin45°

＝＝，∴ON＝，

在Rt△NDO中，由勾股定理得ND2＋DO2＝ON2，即（x＋3）2＋（－x）2＝（）2，

计算得出x1＝－，x2＝，

∵N在第二象限，∴x只能是－，x＋3＝，

即ND＝，OD＝，tan∠AON＝＝.

所以A选项是正确的．

2．169　3.9

4．（－1，－6）　[解析]如图，过点A作AH⊥AB交x轴于点H，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AH，垂足分别为E，F.

设AB的解析式为y＝kx＋b，把点A（2，3）和点B（0，2）分别代入，得

解得∴y＝x＋2.

令y＝0，则x＋2＝0，得x＝－4.

∴G（－4，0），∴OG＝4，OB＝2.

∵点A（2，3），OG＝4，可得AG＝3.

∵∠BGO＝∠AGH，∠GOB＝∠GAH＝90°

∴△BOG∽△HAG，

∴＝，即＝，∴AH＝.

由△AGH的面积，可得×

3GH＝AG·

AH，

即3GH＝3×

，得GH＝.

∴OH＝GH－OG＝.

∵AH⊥AB，∠GAC＝45°

，∴AD平分∠GAH.

∵DE⊥AB，DF⊥AH，∴DE＝DF＝AF.

由△AGH的面积，可得DE·

AG＋DF·

AH＝AG·

即（3＋）DF＝×

3×

∴DF＝，∴AF＝，FH＝－＝.

∴DH＝＝，

∴OD＝OH－DH＝－＝1，∴D（1，0）．

设直线AD的解析式为y＝mx＋n，

把点A（2，3），D（1，0）代入，得解得∴y＝3x－3.

把点A（2，3）代入y＝，得y＝.

由得或（舍去），

∴点C的坐标为（－1，－6）．

5．解：

（1）证明：

∵△ABP′是由△ABP顺时针旋转90°

得到，

∴AP＝AP′，∠PAP′＝90°

∴△APP′是等腰直角三角形．

（2）∵△APP′是等腰直角三角形，

∴∠APP′＝45°

，PP′＝，

又∵BP′＝，BP＝2，

∴PP′2＋BP2＝BP′2，

∴∠BPP′＝90°

.

∵∠APP′＝45°

∴∠BPQ＝180°

－∠APP′－∠BPP′＝45°

.

（3）过点B作BE⊥AQ于点E，则△PBE为等腰直角三角形，

∴BE＝PE，BE2＋PE2＝PB2，

∴BE＝PE＝2，∴AE＝3，

∴AB＝＝，则BC＝.

∵∠BAQ＝∠EAB，∠AEB＝∠ABQ＝90°

∴△ABE∽△AQB，

∴＝，即＝，∴AQ＝，

∴BQ＝＝，

∴CQ＝BC－BQ＝.

6．解：

（1）∵抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A（－1，0）、C（0，4）两点，

∴

解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.

（2）∵点D（m，m＋1）在抛物线上，

∴m＋1＝－m2＋3m＋4，即m2－2m－3＝0

∴m＝－1或m＝3，

∵点D在第一象限，∴点D的坐标为（3，4）．

由

（1）知OC＝OB，∴∠CBA＝45°

设点D关于直线BC的对称点为点E.∵C（0，4），

∴CD∥AB，且CD＝3，∴∠ECB＝∠DCB＝45°

∴E点在y轴上，且CE＝CD＝3，∴OE＝1，

∴E（0，1），即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）．

（3）作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，

由

（1）有OB＝OC＝4，

∴∠OBC＝45°

∵∠DBP＝45°

∴∠CBD＝∠PBA.

∵C（0，4），D（3，4），

∴CD∥OB且CD＝3，

∴∠DCE＝∠CBO＝45°

，∴DE＝CE＝.

∵OB＝OC＝4，∴BC＝4，

∴BE＝BC－CE＝，

∴tan∠PBF＝tan∠CBD＝＝.

设PF＝3t，则BF＝5t，OF＝5t－4，∴P（－5t＋4，3t）．∵P点在抛物线上，

∴3t＝－（－5t＋4）2＋3（－5t＋4）＋4，

∴t＝0（舍去）或t＝，∴P（－，）．

7．解：

（1）因为抛物线经过点A（1，0），C（0，－3），

对称轴为直线x＝2，

所以可列方程组解得

所以抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3.

（2）如图所示，延长直线CP交x轴于点Q.

因为点B（3，0），C（0，－3），所以OB＝OC，

即∠OCB＝∠OBC＝45°

因为直线CP经过点C，

所以可设直线CP的方程为y＝kx－3.

令∠OCA＝α，则∠ACB＝∠OCB－α＝45°

－α，

因为∠BCP＝∠ACB＝45°

所以∠OQC＝∠OBC－∠BCP＝45°

－（45°

－α）＝α，所以∠OCA＝∠OQC，

又因为∠QOC＝∠COA，所以△AOC∽△COQ，

故＝＝，所以OQ＝3OC＝9，

即点Q的坐标为（9，0），因为直线CP经过点Q，

所以k×

9－3＝0，解得k＝，

所以直线CP的解析式为y＝x－3.

8．解：

（1）由抛物线过点C（0，2），D（3，），可得

所以抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.

（2）设P（m，－m2＋m＋2）．如图，当点P在CD上方且∠PCF＝45°

时，

作PM⊥CD于点M，CN⊥PF于点N，则△PMF∽△CNF，

∴＝＝＝2，∴PM＝CM＝2CF.

∴PF＝FM＝CF＝×

CN＝CN＝m.又∵PF＝－m2＋3m，∴－m2＋3m＝m.

解得m1＝，m2＝0（舍去），∴P（，）．

当点P在CD下方且∠PCF＝45°

同理可以求得另外一点为P（，）．

9．解：

令y＝0，则x2－4x＋3＝0，∴x1＝1，x2＝3，

∴B（3，0）．

当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），

∴OB＝OC＝3，

∴∠OCB＝∠OBC＝45°

连结CP，则tan∠PCD＝＝2，

作PE⊥y轴于E，连接PC.

∴∠BCE＝135°

过C点作CH∥x轴，作P点作PH∥y轴，两直线交于H点，CH交PD于G点，设CD的长为x，则PD＝2x，PG＝x，CE＝PH＝x，PE＝CH＝x＋x.

∴tan∠PCE＝3.

设CE＝a，则PE＝3a，

∴P（3a，3＋a），

代入抛物线方程得3＋a＝9a2－12a＋3，

∴a＝，∴P（，）．