第三章弹性应力应变关系Word文档格式.docx
《第三章弹性应力应变关系Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章弹性应力应变关系Word文档格式.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
042T2'
043"
044"
045"
046"
J23=岛11'
052"
22°
53"
33054"
12°
55"
23°
56"
31=Q1'
11032'
22033'
12035"
23036"
或；
11=S1；
111SS2號二13S33二14S<
2S5二2
33
12=11'
®
2；
-22'
S43；
-33'
S44；
-12'
S45；
-23'
6；
-31
；
23=Si1；
「11'
S52；
「22'
S53；
「33'
S54；
「12'
S55；
「23'
Si6；
「31
31=&
1；
-11'
&
$3；
S6^12'
S6^23'
对各向同性的弹性材料，独立的弹性常数只有两个。
二、各向同性条件下的广义虎克定律
1
=己［二11-：
（二22二33）］
二己［二22一（二11二33）］
E［二33一（二11二22）］
12
2G
三、体积虎克定律
1-2
EL11二22二33）
31-2-
k称体积弹性模量，体积应变与平均正压力成正比。
四、用应变表应力的广义虎克定律
午二JS「f一：
（二11—2=「33）］
*［£
J-3_］
1■■E
=_[i二11一.-Cm]
E
1-2。
11_
1+u
亠°
11r
（1）（1-2：
记
Gi_‘e•2」•；
仆匚22_，e•2」22
或=33='
-■ije'
2=；
ij
■,」为拉梅（Lame）弹性常数
3・2弹性应变能
弹性应变能密度
单位体积内积蓄的弹性应变能U0
1CT
单拉时：
u0：
22E
纯剪时；
U0=—•
2
三维应力时，正应力遇另外两个方向正应变分量垂直、且正应力分量与剪应变无关,
剪应变只与剪应力有关，故
Uo
利用广义虎克定律，有
1222和1
Uo（5j+存22+^33）—£
（5^22+^22^33+^33^11）+亦（＜112+^23+631）］
1222Uo-i=2E［C711=）一2（；
干2二产3—）］
Uo（qi）［（三….--）2G（；
2；
2）2G（；
2）］
2112233112233122331J
Uo（；
ij）匚—JG（；
„；
2）
：
Uo-ij
—S
-：
UoGj
j
■-'
、体积变化应变能密度和形状变化应变能密度
单位体积的体积改变积蓄的弹性应变能UV0
单位体积的形状改变积蓄的弹性应变能U0
31—2u2
"
Uv0JF"
=6EdF
Uvo取决于材料的弹性常数及平均正应力
U0二Uo-UV0
2E4G
U-0取决于材料的弹性常数及八面体剪应力.8
3.3虚功原理（虚位移原理）
虚功原理：
在外力作用下处于平衡状态的物体,当经受微小虚位移u时，外力在虚位移ui
所作的总虚功W，等于虚位移ui在物体内部所引起的总虚应变能U。
W=U
!
•■「•；
jdv二FrUidv亠i.i.iTr'
-Uids
VVV
【证明】：
设物体在体力Fi和面力Tj作用下处于平衡，则
、W=Fi、Uidv亠iiiTi、mds
VV
:
illFrudv亠III一n、：
udSi
二FtUidv亠111（G、：
Ui）•jds（高斯定理）
—；
「ij,jFi）门Uidv亠|||'
.‘j・：
fUi,jds
jdV—U
V
虚功原理适用于任何连续体，不只限于弹性体。
3.4最小总势能原理
在所有满足给定的几何边界条件的位移场中，其真实的位移场总是使总势能取最小值。
U=U（；
訂二U（uJ、U=:
;
订、门
hi（ujdv=F「udv亠inTruids
VVs
假定物体从平衡位置有微小的虚位移5ui，物体的尺寸和形状变化可忽略不计，则Fi和
Ti的大小及方向不变，符号可提出积分外。
[iiiU（Ui）dvinFUidviiiTiUids=O
[U-W]=0
二p为系统总势能，在给定外力作用下，实际位移总使总势能的一阶变分为零，即总势
能取驻值，而稳定平衡物体在有虚位移而偏离平衡位置时，势能总是增加，故驻值为极小值。
3.5弹性问题得求解
、未知量与基本方程
15个未知量'
■ij（X1,X2,X3）,；
耳（为公2必），5（%,X2,X3）
15个基本方程
、边界条件与求解方法
基本方程给出通解，必须加上定解条件，
定解条件有初始条件和边界条件两方面，初始条件时指在某特定时刻得情况（一般不考虑动态问题时不讨论），边界条件时指弹性边界上外力和位移情况。
弹性力学中，边界条件有
1）应力边界条件（Fj,Tj已知）
=■e2U3
代入平衡方程式中，得
e2
cx1
ea」'
2u
cx2
（八卩）皂十旳2出亦3=0丿
色3
（丸+丛）Uj,ji+^5」+F=0
不计体力时（丸+卩）Uj,ji+PUj,ji=0
上述以位移表示平衡方程为拉梅位移方程。
若给定位移边界则简单，若是应力边界，则
GP1二222-日2=3丁
匚e+2»
和」
+n*
异U1'
CU3CUi
+
=Ti、
<
cXl丿
（欣1氐丿
ICX1Cx3j
。
1n广◎2^3"
2。
Q3=3T
3.6圣文南原理和线性叠加原理
一、圣文南原理
如果将作业在弹性体表面得某一个不大得局部面积上得力系，同作用在同一局部面积上的
另外形式得静力等效力所代替，那么载荷得这种不同分布对弹性体内应力分布得影响，只有
在距离载荷作用的局部面积很近得地方才显著,忽略不计。
而在距离载荷作用得局部面积较远得地方可
在求解弹性力学问题时，可利用圣文南原理，学，代替真实作用得复杂力学，可使问题大大简化,二、线性叠加原理
T—PA
改变一下边界条件，用简单得静力学等效力而且可使求解得解是足够精确。
设某一弹性体在面力T和体力Fi作用下得解为▽⑴打，同一弹性体在面力T和体力Fi作
用下解为賈2）ij,j，则就是这一弹性体在面力T,+T2，体力R+F2作用下的应力状态。
二⑵ij,j'
F
（2）j=0壬刁］二二
（2）ijnj
二⑴ij,j；
「
（1）ij,j〕亠〔F（i）i*F
（2）i=0T（ii厂T（2尸二i（jiyi（R）j
叠加原理只适用于小变形（线弹性条件），对弹性稳定问题及弹塑性问题，叠加原理不适用。
3.7矩形截面梁的纯弯曲
M，梁在力偶M的作用下
设有一矩形截面梁，它两端作用这大小相等，方向相反得力偶发生弯曲，不计自重，求梁内任一点的应力、应变及位移。
、梁内任一点应力
足的，对应力边界条件,
因此，材力的解是弹性力学的解。
二、梁内任一点应变
22二’33=j'
11
-MX
EI3
23
三、梁内任一点位移
Mx2
M
UiX/2flX2,X3
EI3
u2
-
.:
x2
U2
2EI3
X2f2X“X3
（a）
U3
M上
X2X3f3X!
X2
由于I2=；
.：
Xi；
X2
=0
讦2Xi,X3fX2,X3M
丰=—
.Xi；
Xi
/U3込
X；
X3
-0
讦3XXfXX
.X2:
X
MX3
X3?
X1
fiX2,X3汗3Xi,X2
—；
；
二0
-X3-Xi
（c）
（d）
（e）
（c）对x2求偏导
（e）对x3求偏导
-fiX2,X3
-2
二fiX2,X3
=ax2bx3cx2x3d
（d）对xi求偏导
f2Xi,X3
（d）对x2求偏导
2EI32EI3X3
exifx3gXiX3h
2f3Xi，X2=0
■2
（e）对Xi求偏导
f3Xi,X3=
lix2xm
将fi,f2,f3代入（c）（d）（e）,有
eaj亠Igcx3=0
kf字:
（Ig）%二0
kf-0
ib=0
c=0且e,k,i可用-a,-f,-b替换，即
Ui
bx
1vM2f2x1,X3i—2e~X2
3
x
2EI3
M2
x3_a%fx3h
u3xx3—b%-fx2m
El3
其中六个待定常数可由边界条件给出选取梁左端面中点o,则位移边界条件为
U30=0
=d=h=m=0
=i电）」£
=
fa、
CU2
_f弧'
fA\
CU3
◎丿0
®
3丿°
5丿0
^X3J
l&
1J
、®
2g
选取
fr、
cu1
丿
0忌丿
疋念丿0
=a=b=f=0
X1X2
U2:
X-
X2X3
此即梁的位移场。
升级会员 