第三章弹性应力应变关系Word文档格式.docx

1、 042 T2 043 044 045 046 J 23 =岛 11 052 22 53 33 054 12 55 23 56 31 = Q1 11 032 22 033 12 035 23 036 或 ；11=S1；1 11S S2 號二 13 S3 3二 14S 2 S5 二 23312 = 11 2；- 22 S43；- 33 S44；- 12 S45；- 23 6；- 31；23 =Si1；11 S52；22 S53；33 S54；12 S55；23 Si6；3131 = &1；-11 & $3； S6 12 S6 23 对各向同性的弹性材料，独立的弹性常数只有两个。二、各向同性条件下

2、的广义虎克定律1=己二11 -：（二22 二33）二己二22 一 （二11 二33）E 二 33 一 （二 11 二22）122G三、体积虎克定律1-2E L11 二 22 二 33）3 1-2-k称体积弹性模量， 体积应变与平均正压力成正比。四、用应变表应力的广义虎克定律午二 JSf 一：（二 11 2 =33）* J -3_1 E=_ i 二11 一. - CmE1-2。11 _1 +u亠 11 r（1 ）（1 - 2：记Gi _ e 2；仆 匚22 _ ，e 2 22或 =33 = - ij e 2 = ；ij,为拉梅（Lame ）弹性常数 32弹性应变能弹性应变能密度单位体积内积蓄的弹

3、性应变能 U 01CT单拉时：u 0 ：22E纯剪时；U0 = 2三维应力时，正应力遇另外两个方向正应变分量垂直、且正应力分量与剪应变无关,剪应变只与剪应力有关，故Uo利用广义虎克定律，有, 1 2 2 2 和 1Uo（5j +存22 +33） （522 +22 33+3311）+亦（112+23+631）1 2 2 2 Uo -i =2EC71 1 =）一2 （；干 2 二产 3 ）Uo（ qi） （三 .-）2 G（ ；2 ；2 ） 2G（ ；2）2 11 22 33 11 22 33 12 23 31 JUo（ ；ij）匚 J G（； ；2）：Uo -ij S-：Uo Gjj-、体积变化

4、应变能密度和形状变化应变能密度单位体积的体积改变积蓄的弹性应变能 U V 0单位体积的形状改变积蓄的弹性应变能 U 031 2u 2Uv0 JF = 6E dFUvo取决于材料的弹性常数及平均正应力U 0 二Uo -U V02 E 4GU -0取决于材料的弹性常数及八面体剪应力 .8 3.3 虚功原理（虚位移原理）虚功原理：在外力作用下处于平衡状态的物体, 当经受微小虚位移 u时，外力在虚位移 ui所作的总虚功 W，等于虚位移 ui在物体内部所引起的总虚应变能 U 。W = U! ；j dv 二 FrUidv 亠 i.i.i Tr-UidsV V V【证明】：设物体在体力Fi和面力Tj作用下处

5、于平衡，则、W = Fi、Uidv 亠 iiiTi、mdsVV:i l l Fr u dv 亠 I I I 一 n、：u dSi二 FtUidv 亠 111（G、：Ui） jds （高斯定理） ；ij,j Fi ）门 Ui dv 亠 | | | . j ：f Ui, jdsjdV UV虚功原理适用于任何连续体，不只限于弹性体。 3.4 最小总势能原理在所有满足给定的几何边界条件的位移场中，其真实的位移场总是使总势能取最小值。U =U（；訂二U（uJ 、U =:;订、门hi（ujdv = Fudv 亠 in Tr uidsV V s假定物体从平衡位置有微小的虚位移 5ui，物体的尺寸和形状变化可

6、忽略不计， 则Fi和Ti的大小及方向不变，符号可提出积分外。iiiU（Ui）dv in FUidv iiiTiUids=OU -W =0二p为系统总势能，在给定外力作用下，实际位移总使总势能的一阶变分为零，即总势能取驻值，而稳定平衡物体在有虚位移而偏离平衡位置时， 势能总是增加，故驻值为极小值。 3.5 弹性问题得求解、未知量与基本方程15 个未知量 ij（X1,X2,X3）,；耳（为公2必），5 （%,X2,X3）15个基本方程、边界条件与求解方法基本方程给出通解，必须加上定解条件，定解条件有初始条件和边界条件两方面，初始条件时指在某特定时刻得情况（一般不 考虑动态问题时不讨论），边界条件时

7、指弹性边界上外力和位移情况。弹性力学中，边界条件有1）应力边界条件 （Fj,Tj已知）= e 2 U3代入平衡方程式中，得e 2cx1e a2ucx2（八卩）皂十旳2出亦3=0丿色3（丸+丛）Uj,ji +5+F =0不计体力时 （丸+卩）Uj,ji +PUj,ji =0上述以位移表示平衡方程为拉梅位移方程。若给定位移边界则简单，若是应力边界，则G P 1 二 22 2 -日2 = 3丁匚e+2和+ n*异U1 CU3 CUi+=Ti 、 cXl 丿（欣1 氐丿ICX1 Cx3 j。1 n 广 23 2。Q 3=3T 3.6 圣文南原理和线性叠加原理一、圣文南原理如果将作业在弹性体表面得某一个

8、不大得局部面积上得力系， 同作用在同一局部面积上的另外形式得静力等效力所代替，那么载荷得这种不同分布对弹性体内应力分布得影响， 只有在距离载荷作用的局部面积很近得地方才显著, 忽略不计。而在距离载荷作用得局部面积较远得地方可在求解弹性力学问题时， 可利用圣文南原理， 学，代替真实作用得复杂力学，可使问题大大简化, 二、线性叠加原理T PA改变一下边界条件，用简单得静力学等效力 而且可使求解得解是足够精确。设某一弹性体在面力 T和体力Fi作用下得解为打，同一弹性体在面力 T和体力Fi作用下解为 賈2）ij,j，则就是这一弹性体在面力 T, +T2，体力R + F2作用下的应力状态。二 ij,j

9、F（ 2）j=0 壬刁二二（2）ij nj二ij,j ；（1）ij,j亠F（i）i * F（2） i =0 T（ii厂 T（2 尸二 i（jiy i（R） j叠加原理只适用于小变形（线弹性条件），对弹性稳定问题及弹塑性问题， 叠加原理不适用。 3.7 矩形截面梁的纯弯曲M，梁在力偶M的作用下设有一矩形截面梁，它两端作用这大小相等，方向相反得力偶 发生弯曲，不计自重，求梁内任一点的应力、应变及位移。、梁内任一点应力足的，对应力边界条件,因此，材力的解是弹性力学的解。 二、梁内任一点应变22 二33 = j 11-MXEI323三、梁内任一点位移Mx2MUi X/2 fl X2,X3EI 3u2-

10、.:x2U22 EI3X2 f2 X“X3（a）U3M 上X2X3 f3 X!,X2由于 I2 = ；.：Xi ；X2=0讦 2 Xi,X3 f X2,X3 M 丰 =.Xi ；Xi/U3 込X ；X3-0讦3 XX f XX.X2 :XMX3X3 ?X1fi X2,X3 汗 3 Xi,X2； ； 二 0-X3 - Xi（c）（d）（e）（c）对x2求偏导（e）对x3求偏导- fi X2,X3-2二 fi X2,X3=ax2 bx3 cx2x3 d（d）对xi求偏导f2 Xi,X3（d）对x2求偏导2EI3 2EI3X3exi fx3 gXiX3 h2f3 Xi，X2 =0 2（e）对Xi求偏

11、导f3 Xi, X3 =lix 2x m将 fi, f2, f3代入（c） （d） （e）,有e a j 亠 I g c x3 = 0k f 字:（I g）% 二 0k f -0i b =0c =0 且e, k, i可用-a,-f,-b替换，即Uibx1 vM 2 f2 x1,X3 i2eX23x2EI3M 2 x3 _ a% fx3 hu3 x x3 b% - fx2 mEl 3其中六个待定常数可由边界条件给出 选取梁左端面中点 o,则位移边界条件为U30 =0=d=h=m=0=i电） =fa 、CU2_ f弧f A CU3丿03丿 5丿0X3 Jl&1 J、2 g选取f r 、cu1丿0 忌丿疋念丿0=a=b=f=0X1X2U2 :X -X2X3此即梁的位移场。