全国版高考数学理一轮复习必刷题第六单元 导数在函数中的应用Word文档格式.docx

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x<

1时,f'

（x）<

当x>

0.

所以x=1是函数f（x）的极小值点.

所以函数f（x）的极小值为f

（1）=-1.

故选A.

【答案】A

2.（2013年全国Ⅰ卷）已知函数f（x）=ex（ax+b）-x2-4x,曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为y=4x+4.

（1）求a,b的值;

（2）讨论f（x）的单调性,并求f（x）的极大值.

　　【解析】

（1）f'

（x）=ex（ax+a+b）-2x-4,

由已知得f（0）=4,f'

（0）=4,故b=4,a+b=8,

从而a=4,b=4.

（2）由

（1）知,f（x）=4ex（x+1）-x2-4x,

（x）=4ex（x+2）-2x-4=4（x+2）.

令f'

（x）=0,得x=-ln2或x=-2,

从而当x∈（-∞,-2）∪（-ln2,+∞）时,f'

当x∈（-2,-ln2）时,f'

故f（x）在（-∞,-2）,（-ln2,+∞）上单调递增,在（-2,-ln2）上单调递减,

当x=-2时,函数f（x）取得极大值,极大值为f（-2）=4（1-e-2）.

3.（2015年全国Ⅱ卷）已知函数f（x）=lnx+a（1-x）.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）当f（x）有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.

（1）f（x）的定义域为（0,+∞）,f'

（x）=-a.

若a≤0,则f'

0,所以f（x）在（0,+∞）上单调递增.

若a>

0,则当x∈时,f'

当x∈时,f'

0.所以f（x）在上单调递增,在上单调递减.

（2）由

（1）知,当a≤0时,f（x）在（0,+∞）上无最大值;

当a>

0时,f（x）在x=处取得最大值,最大值为

f=ln+a=-lna+a-1.

因此f>

2a-2等价于lna+a-1<

令g（a）=lna+a-1,得g（a）在（0,+∞）上单调递增,

且g

（1）=0.

于是,当0<

a<

1时,g（a）<

1时,g（a）>

因此,a的取值范围是（0,1）.

4.（2017年全国Ⅲ卷）已知函数f（x）=x-1-alnx.

（1）若f（x）≥0,求a的值;

（2）设m为整数,且对于任意正整数n,·

…·

<

m,求m的最小值.

（1）f（x）的定义域为（0,+∞）,

若a≤0,因为f=-+aln2<

0,所以不满足题意.

0,由f'

（x）=1-=知,

当x∈（0,a）时,f'

当x∈（a,+∞）时,f'

所以f（x）在（0,a）上单调递减,在（a,+∞）上单调递增.

故x=a是f（x）在（0,+∞）的唯一最小值点.

因为f

（1）=0,所以当且仅当a=1时,f（x）≥0,

故a=1.

（2）由

（1）知,当x∈（1,+∞）时,x-1-lnx>

令x=1+,得ln<

从而ln+ln+…+ln

++…+=1-<

1.

故·

e.

又>

2,m为整数,

所以m的最小值为3.

5.（2013年全国Ⅱ卷）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）设x=0是f（x）的极值点,求m,并讨论f（x）的单调性;

（2）当m≤2时,证明f（x）>

（x）=ex-.

由x=0是f（x）的极值点,得f'

（0）=0,所以m=1.

于是f（x）=ex-ln（x+1）,定义域为（-1,+∞）,f'

函数f'

（x）=ex-在（-1,+∞）上单调递增,且f'

（0）=0,因此当x∈（-1,0）时,f'

当x∈（0,+∞）时,f'

所以f（x）在（-1,0）上单调递减,在（0,+∞）上单调递增.

（2）当m≤2,x∈（-m,+∞）时,ln（x+m）≤ln（x+2）,故只需证明当m=2时,f（x）>

当m=2时,函数f'

（x）=ex-在（-2,+∞）上单调递增.

又f'

（-1）<

0,f'

（0）>

0,故f'

（x）=0在（-2,+∞）上有唯一实根x0,且x0∈（-1,0）.

当x∈（-2,x0）时,f'

当x∈（x0,+∞）时,f'

0,从而当x=x0时,f（x）取得最小值.

由f'

（x0）=0得=,ln（x0+2）=-x0,

故f（x）≥f（x0）=+x0=>

综上,当m≤2时,f（x）>

考点二

利用导数研究函数的单调性和不等式

6.（2016年全国Ⅰ卷）若函数f（x）=x-sin2x+asinx在（-∞,+∞）上单调递增,则a的取值范围是（　　）.

A.[-1,1]B.

C.D.

　　【解析】取a=-1,则f（x）=x-sin2x-sinx,f'

（x）=1-cos2x-cosx,但f'

（0）=1--1=-<

0,不具备在（-∞,+∞）上单调递增的条件,排除A,B,D.故选C.

【答案】C

7.（2015年全国Ⅱ卷）设函数f'

（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数,f（-1）=0,当x>

0时,xf'

（x）-f（x）<

0,则使得f（x）>

0成立的x的取值范围是（　　）.

A.（-∞,-1）∪（0,1）B.（-1,0）∪（1,+∞）

C.（-∞,-1）∪（-1,0）D.（0,1）∪（1,+∞）

【解析】设y=g（x）=（x≠0）,则g'

（x）=,当x>

0,∴g'

0,∴g（x）在（0,+∞）上为减函数,且g

（1）=f

（1）=-f（-1）=0.

∵f（x）为奇函数,∴g（x）为偶函数,

　　∴g（x）的图象的示意图如图所示.

0,g（x）>

0时,f（x）>

0,0<

1,

当x<

0,g（x）<

0,x<

-1,

∴使得f（x）>

0成立的x的取值范围是（-∞,-1）∪（0,1）,故选A.

8.（2015年全国Ⅰ卷）设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a,其中a<

1,若存在唯一的整数x0使得f（x0）<

0,则a的取值范围是（　　）.

A.B.

【解析】∵f（0）=-1+a<

0,∴x0=0.

又∵x0=0是唯一的整数,∴

即解得a≥.

又∵a<

1,∴≤a<

1,故选D.

【答案】D

9.（2014年全国Ⅰ卷）设函数f（x）=alnx+x2-bx（a≠1）,曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线斜率为0.

（1）求b;

（2）若存在x0≥1,使得f（x0）<

求a的取值范围.

（x）=+（1-a）x-b.

由题设知f'

（1）=0,解得b=1.

（2）f（x）的定义域为（0,+∞）,

由

（1）知,f（x）=alnx+x2-x,

（x）=+（1-a）x-1=（x-1）.

若a≤,则≤1,故当x∈（1,+∞）时,f'

0,f（x）在（1,+∞）上单调递增.

所以存在x0≥1,使得f（x0）<

的充要条件为f

（1）<

即-1<

解得--1<

-1.

若<

1,则>

1,故当x∈时,f'

0,当x∈时,f'

0,所以f（x）在上单调递减,在上单调递增.

的充要条件为f<

.

而f=aln++>

所以不合题意.

1,则f

（1）=-1=<

综上可知,a的取值范围是（--1,-1）∪（1,+∞）.

10.（2016年全国Ⅱ卷）已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）.

（1）当a=4时,求曲线y=f（x）在（1,f

（1））处的切线方程;

（2）若当x∈（1,+∞）时,f（x）>

0,求a的取值范围.

（1）f（x）的定义域为（0,+∞）.

当a=4时,f（x）=（x+1）lnx-4（x-1）,

f

（1）=0,f'

（x）=lnx+-3,f'

（1）=-2.

故曲线y=f（x）在（1,f

（1））处的切线方程为2x+y-2=0.

（2）当x∈（1,+∞）时,f（x）>

0等价于lnx->

设g（x）=lnx-,

则g'

（x）=-=,g

（1）=0.

①当a≤2,x∈（1,+∞）时,x2+2（1-a）x+1≥x2-2x+1>

0,故g'

0,即g（x）在（1,+∞）上单调递增,因此g（x）>

②当a>

2时,令g'

（x）=0得x1=a-1-,x2=a-1+.

由x2>

1和x1x2=1得x1<

1,故当x∈（1,x2）时,g'

0,即g（x）在（1,x2）上单调递减,因此g（x）<

综上可知,a的取值范围是（-∞,2].

11.（2016年全国Ⅲ卷）设函数f（x）=lnx-x+1.

（2）证明当x∈（1,+∞）时,1<

x;

（3）设c>

1,证明当x∈（0,1）时,1+（c-1）x>

cx.

（1）由题设,f（x）的定义域为（0,+∞）,f'

（x）=-1,令f'

（x）=0,解得x=1.

当0<

0,f（x）单调递增;

0,f（x）单调递减.

（2）由

（1）知,f（x）在x=1处取得最大值,最大值为f

（1）=0.

所以当x≠1时,lnx<

x-1.

故当x∈（1,+∞）时,lnx<

x-1,ln<

　　即1<

x.

（3）由题设c>

1,设g（x）=1+（c-1）x-cx,

（x）=c-1-cxlnc.

令g'

（x）=0,解得x0=.

x0时,g'

0,g（x）单调递增;

0,g（x）单调递减.

由

（2）知1<

c,故0<

x0<

又g（0）=g

（1）=0,故当0<

1时,g（x）>

所以当x∈（0,1）时,1+（c-1）x>

考点三

利用导数研究函数的零点问题

12.（2017年全国Ⅰ卷）已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（2）若f（x）有两个零点,求a的取值范围.

（1）f（x）的定义域为（-∞,+∞）,

（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（aex-1）（2ex+1）.

0,所以f（x）在（-∞,+∞）上单调递减.

0,则由f'

（x）=0得x=-lna.

当x∈（-∞,-lna）时,f'

当x∈（-lna,+∞）时,f'

所以f（x）在（-∞,-lna）上单调递减,在（-lna,+∞）上单调递增.

（2）若a≤0,由

（1）知,f（x）至多有一个零点.

0,由

（1）知,当x=-lna时,f（x）取得最小值,最小值为f（-lna）=1-+lna.

当a=1时,由于f（-lna）=0,故f（x）只有一个零点