全国版高考数学理一轮复习必刷题第六单元 导数在函数中的应用Word文档格式.docx
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x<
1时,f'
(x)<
当x>
0.
所以x=1是函数f(x)的极小值点.
所以函数f(x)的极小值为f
(1)=-1.
故选A.
【答案】A
2.(2013年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
【解析】
(1)f'
(x)=ex(ax+a+b)-2x-4,
由已知得f(0)=4,f'
(0)=4,故b=4,a+b=8,
从而a=4,b=4.
(2)由
(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,
(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).
令f'
(x)=0,得x=-ln2或x=-2,
从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f'
当x∈(-2,-ln2)时,f'
故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减,
当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).
3.(2015年全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=lnx+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'
(x)=-a.
若a≤0,则f'
0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a>
0,则当x∈时,f'
当x∈时,f'
0.所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由
(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;
当a>
0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为
f=ln+a=-lna+a-1.
因此f>
2a-2等价于lna+a-1<
令g(a)=lna+a-1,得g(a)在(0,+∞)上单调递增,
且g
(1)=0.
于是,当0<
a<
1时,g(a)<
1时,g(a)>
因此,a的取值范围是(0,1).
4.(2017年全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=x-1-alnx.
(1)若f(x)≥0,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,·
…·
<
m,求m的最小值.
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
若a≤0,因为f=-+aln2<
0,所以不满足题意.
0,由f'
(x)=1-=知,
当x∈(0,a)时,f'
当x∈(a,+∞)时,f'
所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
故x=a是f(x)在(0,+∞)的唯一最小值点.
因为f
(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0,
故a=1.
(2)由
(1)知,当x∈(1,+∞)时,x-1-lnx>
令x=1+,得ln<
从而ln+ln+…+ln
++…+=1-<
1.
故·
e.
又>
2,m为整数,
所以m的最小值为3.
5.(2013年全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).
(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(2)当m≤2时,证明f(x)>
(x)=ex-.
由x=0是f(x)的极值点,得f'
(0)=0,所以m=1.
于是f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f'
函数f'
(x)=ex-在(-1,+∞)上单调递增,且f'
(0)=0,因此当x∈(-1,0)时,f'
当x∈(0,+∞)时,f'
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)>
当m=2时,函数f'
(x)=ex-在(-2,+∞)上单调递增.
又f'
(-1)<
0,f'
(0)>
0,故f'
(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实根x0,且x0∈(-1,0).
当x∈(-2,x0)时,f'
当x∈(x0,+∞)时,f'
0,从而当x=x0时,f(x)取得最小值.
由f'
(x0)=0得=,ln(x0+2)=-x0,
故f(x)≥f(x0)=+x0=>
综上,当m≤2时,f(x)>
考点二
利用导数研究函数的单调性和不等式
6.(2016年全国Ⅰ卷)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( ).
A.[-1,1]B.
C.D.
【解析】取a=-1,则f(x)=x-sin2x-sinx,f'
(x)=1-cos2x-cosx,但f'
(0)=1--1=-<
0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增的条件,排除A,B,D.故选C.
【答案】C
7.(2015年全国Ⅱ卷)设函数f'
(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>
0时,xf'
(x)-f(x)<
0,则使得f(x)>
0成立的x的取值范围是( ).
A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)
【解析】设y=g(x)=(x≠0),则g'
(x)=,当x>
0,∴g'
0,∴g(x)在(0,+∞)上为减函数,且g
(1)=f
(1)=-f(-1)=0.
∵f(x)为奇函数,∴g(x)为偶函数,
∴g(x)的图象的示意图如图所示.
0,g(x)>
0时,f(x)>
0,0<
1,
当x<
0,g(x)<
0,x<
-1,
∴使得f(x)>
0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1),故选A.
8.(2015年全国Ⅰ卷)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<
1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<
0,则a的取值范围是( ).
A.B.
【解析】∵f(0)=-1+a<
0,∴x0=0.
又∵x0=0是唯一的整数,∴
即解得a≥.
又∵a<
1,∴≤a<
1,故选D.
【答案】D
9.(2014年全国Ⅰ卷)设函数f(x)=alnx+x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线斜率为0.
(1)求b;
(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<
求a的取值范围.
(x)=+(1-a)x-b.
由题设知f'
(1)=0,解得b=1.
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),
由
(1)知,f(x)=alnx+x2-x,
(x)=+(1-a)x-1=(x-1).
若a≤,则≤1,故当x∈(1,+∞)时,f'
0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.
所以存在x0≥1,使得f(x0)<
的充要条件为f
(1)<
即-1<
解得--1<
-1.
若<
1,则>
1,故当x∈时,f'
0,当x∈时,f'
0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.
的充要条件为f<
.
而f=aln++>
所以不合题意.
1,则f
(1)=-1=<
综上可知,a的取值范围是(--1,-1)∪(1,+∞).
10.(2016年全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).
(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>
0,求a的取值范围.
(1)f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=4时,f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),
f
(1)=0,f'
(x)=lnx+-3,f'
(1)=-2.
故曲线y=f(x)在(1,f
(1))处的切线方程为2x+y-2=0.
(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)>
0等价于lnx->
设g(x)=lnx-,
则g'
(x)=-=,g
(1)=0.
①当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>
0,故g'
0,即g(x)在(1,+∞)上单调递增,因此g(x)>
②当a>
2时,令g'
(x)=0得x1=a-1-,x2=a-1+.
由x2>
1和x1x2=1得x1<
1,故当x∈(1,x2)时,g'
0,即g(x)在(1,x2)上单调递减,因此g(x)<
综上可知,a的取值范围是(-∞,2].
11.(2016年全国Ⅲ卷)设函数f(x)=lnx-x+1.
(2)证明当x∈(1,+∞)时,1<
x;
(3)设c>
1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>
cx.
(1)由题设,f(x)的定义域为(0,+∞),f'
(x)=-1,令f'
(x)=0,解得x=1.
当0<
0,f(x)单调递增;
0,f(x)单调递减.
(2)由
(1)知,f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f
(1)=0.
所以当x≠1时,lnx<
x-1.
故当x∈(1,+∞)时,lnx<
x-1,ln<
即1<
x.
(3)由题设c>
1,设g(x)=1+(c-1)x-cx,
(x)=c-1-cxlnc.
令g'
(x)=0,解得x0=.
x0时,g'
0,g(x)单调递增;
0,g(x)单调递减.
由
(2)知1<
c,故0<
x0<
又g(0)=g
(1)=0,故当0<
1时,g(x)>
所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>
考点三
利用导数研究函数的零点问题
12.(2017年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),
(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).
0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.
0,则由f'
(x)=0得x=-lna.
当x∈(-∞,-lna)时,f'
当x∈(-lna,+∞)时,f'
所以f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增.
(2)若a≤0,由
(1)知,f(x)至多有一个零点.
0,由
(1)知,当x=-lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(-lna)=1-+lna.
当a=1时,由于f(-lna)=0,故f(x)只有一个零点