高中数学人教A版必修四第三章 23两角和与差的正切函数 练习题含答案Word下载.docx

高中数学人教A版必修四第三章 23两角和与差的正切函数 练习题含答案Word下载.docx

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Tα＋β

α，β，α＋β≠kπ＋（k∈Z）

两角差的正切

tan（α－β）＝

Tα－β

α，β，α－β≠kπ＋（k∈Z）

1．判断正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tanα＋tanβ成立．（　　）

（2）对任意α，β∈R，tan（α＋β）＝都成立．（　　）

（3）tan（α＋β）＝等价于tanα＋tanβ＝tan（α＋β）·

（1－tanαtanβ）．（　　）

解析：

（1）正确．当α＝0，β＝时，tan（α＋β）＝

tan＝tan0＋tan，但一般情况下不成立．

（2）错误．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋（k∈Z）．

（3）正确．当α≠kπ＋（k∈Z），β≠kπ＋（k∈Z），α＋β≠kπ＋（k∈Z）时，由前一个式子两边同乘以1－tanαtanβ可得后一个式子，当tanαtanβ＝1时，α＋β＝＋kπ，k∈Z，tan（α＋β）无意义，所以后一个式子两边同除以1－tanαtanβ可得前一个式子成立，两式等价．

答案：

（1）√　

（2）×

　（3）√

2．已知cosα＝－，且α∈，则tan等于（　　）

A．－　　　　　　　　B．－7

C.D．7

选D.因为cosα＝－，且α∈，所以sinα＝.

所以tanα＝＝－，所以tan＝＝7.

3．若tanα＝3，tanβ＝，则tan（α－β）＝________．

因为tanα＝3，tanβ＝，

所以tan（α－β）＝＝＝.

4.＝________．

＝tan（82°

－22°

）＝tan60°

＝.

1．公式Tα±

β的结构特征和符号规律

（1）结构特征：

公式Tα±

β的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．

（2）符号规律：

分子同，分母反．

2．两角和与差的正切公式的变形与特例

（1）变形公式：

tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）；

tanα－tanβ＝tan（α－β）（1＋tanαtanβ）；

tanαtanβ＝1－.

（2）公式的特例：

tan＝；

tan＝.

　　　　　　　化简求值　

计算：

（1）；

（2）tan10°

＋tan50°

＋tan10°

tan50°

；

（3）（3＋tan30°

tan40°

＋tan40°

tan60°

）·

tan10°

.

（链接教材P122例5）

[解]　

（1）因为tan15°

＝tan（45°

－30°

）

＝＝2－.

所以＝＝

＝＝－.

＝tan（10°

＋50°

）（1－tan10°

）＋tan10°

＝tan60°

－tan10°

（3）原式＝（1＋tan30°

＋1＋tan40°

＋1＋tan50°

，

因为tan10°

＝tan（40°

）＝，

所以1＋tan40°

tan30°

＝，

同理，1＋tan40°

1＋tan50°

所以原式＝

·

＝tan40°

－tan30°

－tan40°

＋tan60°

－tan50°

＝－tan30°

＝－＋＝.

方法归纳

解答此类问题应注意以下两点：

（1）公式的逆用

一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan45°

＝1，tan30°

＝，tan60°

＝等．

特别要注意tan＝，

（2）公式的变形运用

只要见到tanα±

tanβ，tanαtanβ时，就要有灵活变形应用公式Tα±

β的意识，从而不难获得解题思路．

1．

（1）＝________．

（2）tan19°

＋tan26°

＋tan19°

tan26°

＝________．

（3）求下列各式的值：

①；

②tan20°

＋tan30°

tan20°

解：

（1）＝＝＝＝＝－1.故填－1.

（2）因为tan45°

＝tan（19°

＋26°

）＝＝1，

所以tan19°

＝1－tan19°

则tan19°

＝1.故填1.

（3）①原式＝

＝＝tan15°

＝tan（45°

②原式＝（tan20°

）＋tan40°

＝·

（1－tan20°

＝1－tan20°

＋tan20°

＝1.

　　　　　　　给值求值（角）　

（1）已知tan＝，tan＝2.求：

①tan；

②tan（α＋β）．

（2）设方程x2＋3x＋4＝0的两根为tanα，tanβ，且0<

|α|<

，0<

|β|<

，求α＋β的值．

（链接教材P121例4，P122练习T4）

[解]　

（1）①tan＝tan

②tan（α＋β）＝tan

＝＝2－3.

（2）由已知，得tanα＋tanβ＝－3，tanαtanβ＝4.

所以tan（α＋β）＝＝＝，

且tanα<

0，tanβ<

0，

所以－<

α<

0，－<

β<

所以－π<

α＋β<

所以α＋β＝－π.

解决给值求值（角）问题的常用策略

（1）关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．

（2）关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．

提醒：

在给值求角的问题中，根据角的范围确定角的大小．

2．已知tanα＝，tanβ＝－2，且0<

<

π，

求

（1）tan（α－β）的值；

（2）角α＋β的值．

（1）因为tanα＝，tanβ＝－2，

所以tan（α－β）＝＝＝7.

（2）tan（α＋β）＝＝＝－1，

因为0<

π，所以<

α＋β<

所以α＋β＝.

　　　　　　　公式Tα±

β的综合应用　

（1）已知A，B是△ABC的两个内角，且tanA，tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，则tanC＝________．

（2）在△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，试判断△ABC的形状．

[解]　

（1）因为tanA，tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，所以tanA＋tanB＝－，tanAtanB＝－，

所以tan（A＋B）＝＝＝－2.

又A＋B＋C＝π，

所以tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝2.故填2.

（2）由tanB＋tanC＋tanBtanC＝，

得tanB＋tanC＝（1－tanBtanC），

因为A，B，C为△ABC的内角，所以1－tanBtanC≠0，

所以＝，即tan（B＋C）＝，

B＋C<

π，所以B＋C＝.

由tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，

得（tanA＋tanB）＝－（1－tanAtanB），

因为A，B，C为△ABC的内角，所以1－tanAtanB≠0，

所以＝－，即tan（A＋B）＝－.因为0<

A＋B<

π，所以A＋B＝.又A＋B＋C＝π，所以A＝，B＝C＝，所以△ABC为等腰三角形．

　　　本例

（1）中的方程“3x2＋8x－1＝0”改为“3x2＋8x－m＝0”，求tanC的取值范围．

由题意得Δ＝82＋12m≥0，所以m≥－.

因为tanA，tanB是方程3x2＋8x－m＝0的两个实根，所以tanA＋tanB＝－，tanAtanB＝－，则A，B中有一个为钝角，

所以tan（A＋B）＝＝

＝－，

因为A＋B＋C＝π，所以tanC＝tan[π－（A＋B）]＝，

因为m≥－，所以tanC≤－或tanC>

0.

当tanC≤－时，C为钝角，此时不能构成三角形，故tanC>

公式应用的常见问题类型及处理策略

（1）方程中的应用：

两角和与差的正切公式中由于同时出现了两正切的和差以及乘积，往往会与一元二次方程联系在一起，利用根与系数的关系解决有关问题．

（2）判断三角形形状：

利用公式及其变形形式，结合题中所给的条件找到角之间的关系．

3．已知tanα，tanβ是关于x的方程x2－4px－3＝0（p∈R）的两个实数根，且α＋β≠kπ＋（k∈Z），求

cos2（α＋β）＋psin（α＋β）cos（α＋β）的值．

因为tanα，tanβ是方程x2－4px－3＝0的两实根，

所以根据根与系数关系，得

tanα＋tanβ＝4p，

tanαtanβ＝－3，

所以tan（α＋β）＝＝＝p，

即sin（α＋β）＝pcos（α＋β）．

原式＝（1＋p2）cos2（α＋β）＝＝＝1.

易错警示

给值求角中的易错误区

已知tan（α－β）＝，tanβ＝－，且α，β∈（0，π），则2α－β＝________．

[解析]　由于tanα＝tan[（α－β）＋β]＝

＝＝，且α∈（0，π），

所以α∈

又由tanβ＝－，且β∈（0，π），

得β∈（，π），所以2α－β∈（－π，0）．

而tan（2α－β）＝tan[（α－β）＋α]＝＝1，

所以2α－β＝－π.

[答案]　－

[错因与防范]　

（1）解答本题常会得到2α－β的值为，这样错误的结果，原因在于没能依据题设条件进一步缩小角α、β的范围，导致计算角2α－β的范围扩大而出错．

（2）为了防范类似的错误，应该

①树立函数择优意识

选择运算该角的哪个三角函数值，会直接影响角的解的个数，如本例选择公式Tα±

β较方便快捷，且不易产生增解．

②注意题设隐含条件的挖掘

个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan（α－β）＝，tanβ＝－，且α，β∈（0，π）”来进一步限定角α，β的范围．

4．

（1）在△ABC中，若tanA·

tanB>

1，则△ABC必是（　　）

A．等边三角形

B．直角三角形

C．锐角三角形

D．钝角三角形

（2）已知tanα＝，tanβ＝，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．

（1）