云南贵州四川广西四省名校届高三毕业班下学期第三次高考模拟大联考数学文试题解析版Word格式文档下载.docx

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3．已知向量＝（2，3），＝（﹣1，λ），若向量﹣2与向量共线，则||＝（　　）

A．B．C．D．

根据题意，向量＝（2，3），＝（﹣1，λ），则﹣2＝（4，3﹣2λ），

又由向量﹣2与向量共线，则有2（3﹣2λ）﹣3×

4＝0，

解可得：

λ＝﹣，

则＝（﹣1，﹣），则有||＝＝，

4．已知样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，该样本平均数为4，方差为2，现加入一个数4，得到新样本的平均数为，方差为s2，则（　　）

A．＞4，s2＞2B．＝4，s2＜2C．＜4，s2＜2D．＝4，s2＞2

因为x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4，方差为2，

所以当加入一个数4，得到新样本的平均数为＝，

方差为s2＝．

5．已知等比数列{an}中，a2+a4＝30，a1a3＝9，则公比q＝（　　）

A．9或﹣11B．3或﹣11C．3或D．3或﹣3

由a2+a4＝30，a1a3＝9，可得，

解得q＝±

3，

D．

6．已知α为第二象限角，且tan（α﹣π）＝﹣，则cos（）＝（　　）

A．B．﹣C．D．﹣

∵α为第二象限角，且tan（α﹣π）＝﹣，

∴tanα＝﹣，即＝﹣，

又sin2α+cos2α＝1，

∴sinα＝，cosα＝﹣，

∴cos（）＝（cosα+sinα）＝×

（﹣+）＝．

A．

7．设O为坐标原点，直线l过定点（1，0），且与抛物线C：

y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，|OA|＝|OB|，则抛物线C的准线方程为（　　）

A．x＝﹣B．x＝﹣C．x＝﹣1D．x＝﹣2

因为三角形AOB为等腰直角三角形，所以直线l的方程为：

x＝1，

根据抛物线的对称性可以确定∠AOx＝∠BOx＝，所以A（1，1），

代入抛物线方程可得1＝2p，即p＝，

所以抛物线的准线方程为：

x＝﹣．

8．已知点P（1，2），则当点P到直线2ax+y﹣4＝0的距离最大时，a＝（　　）

A．1B．﹣C．D．

因为直线2ax+y﹣4＝0恒过定点A（0，4），

故当PA与直线垂直时，点P到直线的距离达到最大值，此时过P，A的直线的斜率为﹣2，

所以直线2ax+y﹣4＝0的斜率为，

故．

9．某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉．现环保局要求其整改，降低声强．已知声强I（单位：

W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L（单位：

dB）与声强I的函数关系式为L＝10•lg（aI）．已知I＝1013W/m2时，L＝10dB．若整改后的施工噪音的声强为原声强的10﹣2，则整改后的施工噪音的声强级降低了（　　）

A．50dBB．40dBC．30dBD．20dB

由题意可知，L＝10•lg（aI），

当I＝1013W/m2时，L＝10dB，有10＝10•lga•1013，解得a＝10﹣12，

故有L＝10•lg10﹣12I，

当变为原声强的10﹣2时，I＝1011W/m2，

有L＝10•lg10﹣12•1011，可得I＝﹣10dB，

由此可知降低了10dB﹣（﹣10dB）＝20dB，

10．给出下列命题：

①ln2＞，②ln2＞，③log23＞log58，其中真命题为（　　）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

对于①，，即ln2＞，故①正确；

对于②，由，转换为，

设f（x）＝，则，令f′（x）＝0，解得x＝e，

当x∈（0，e）时，函数f′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，e）上单调递增，

故，即，故②错误；

对于③，log23＞log58，

转换为，由于，故，所以．即．

对于＝，由于，

故，

所以，所以，

故log23＞log58，

故③正确．

C．

11．如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（　　）

A．1B．2C．D．

由题意几何体是四棱锥P﹣ABCD，过P作PE⊥AD于E，

在正方体中有CD⊥平面PAD，所以CD⊥PE，

又因为AD∩CD＝D，所以PE⊥平面ABCD，

所以四棱锥的高为PE，

由三视图可知，PE×

＝2×

2，解得PE＝．

所以该四棱锥的高为：

．

12．已知函数f（x）＝sinx+cosxsinx，则下列关于函数f（x）的说法中，正确的个数是（　　）

①2π是f（x）的周期；

②f（x）是偶函数；

③f（x）的图象关于直线x＝对称；

④f（x）的最小值是﹣．

A．1个B．2个C．3个D．4个

函数f（x）＝sinx+cosxsinx，

对于①，函数f（x+2π）＝sin（x+2π）+cos（x+2π）sin（x+2π）＝f（x），所以2π是f（x）的周期，故①正确；

对于②，函数f（﹣x）＝sin（﹣x）+cos（﹣x）sin（﹣x）≠f（x），故函数f（x）不是偶函数，故②错误；

对于③，f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+cos（π﹣x）sin（π﹣x）≠f（x），故函数f（x）的图象不关于直线x＝对称，故③错误；

④由于f（x）＝sinx+cosxsinx，

所以f′（x）＝cosx+cos2x﹣sin2x＝2cos2x+cosx﹣1，

令f′（x）＝0，解得，

当cosx＝时，即sinx＝，

f（x）的最小值是﹣，故④正确．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分。

13．已知命题p：

∀x∈[1，2]，x2﹣ax﹣3≤0，若p为真命题，则a的取值范围为　[）　.（结果用区间表示）

命题p：

∀x∈[1，2]，x2﹣ax﹣3≤0，即＝x﹣对于x∈[1，2]上恒成立，

即f（x）＝x﹣，根据函数的性质函数f（x）在定义域内单调递增，

故a的取值范围为[，+∞）．

故答案为：

[，+∞）．

14．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），点F到其渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为　　．

双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），点F到其渐近线的距离为1，

可得双曲线的渐近线的倾斜角为：

，斜率为：

，所以，

e＝＝＝．

15．某工厂需要生产A产品与B产品，现有原料18吨，每件A产品需原料3吨，利润为5万元，每件B产品需原料1吨，利润为1万元，A产品的件数不能超过B产品的件数的，则工厂最大利润为　26　万元．

设生产A产品x件，B产品y件，总利润为z，

则，目标函数z＝5x+y，作出可行域如图：

由，解得，即A（4，6），

结合图形可知，当直线y＝﹣5x+z过A（4，6）时，z有最大值为：

5×

4+6＝26．．

26．

16．已知在三棱锥P﹣ABC中，∠BAC＝90°

，AB＝AC＝4，∠APC＝30°

，平面PAC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为　80π　．

由题意可知，P点在圆周上运动，则PAC的外接圆的半径为r，2r＝＝8，解得r＝4，如图，因为平面PAC⊥平面ABC，∠BAC＝90°

，AB＝AC＝4，所以ABC的外接圆的圆心是BC的中点，几何体的外接球的球心是ABC外心的中垂线与圆PAC的圆心的中垂线的交点O，由题意可得R＝＝，

所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为：

4πR2＝80π．

80π．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosC＝﹣．

（1）求角B；

（2）若△ABC外接圆的半径为，且AC边上的中线长为，求△ABC的面积．

（1）由cosC＝﹣，

可得2bcosC＝2a﹣c，

由正弦定理可得2sinBcosC＝2sinA﹣sinC，即2sinBcosC＝2sin（B+C）﹣sinC，

可得sinC＝2sinCcosB，

又sinC≠0，

所以cosB＝，

因为B为三角形内角，

所以B＝．

（2）由正弦定理可得＝2，可得b＝3，

设D为AC边上的中点，则AD＝，BD＝，2＝+，

两边平方，可得42＝2+2+2•，即17＝c2+a2+ac，

由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB，即9＝a2+c2﹣ac，

两式相减可得8＝2ac，即ac＝4，

所以S△ABC＝acsinB＝．

18．某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8．现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查．

（1）现采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期调查，求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？

（2）将该企业所有员工随机平均分成4组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；

若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．已知每组化验结果呈阴性的概率都为，记Bi（i＝1，2，3，4）为“第i组化验结果呈阴性”，i（i＝1，2，3，4）为“第i组化验结果呈阳性”，请计算恰有两个组需要进一步逐个化验的概率．

（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：

2：

1，

由于采用分层抽样的方法从中抽取6人，

因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人，

该企业总共有24+16+8＝48名员工，

记事件A：

“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，

∴每位员工被抽到的概率为P＝＝．

（2）记“恰有两个组需要进一步逐个化验”为事件B，所有分组化验的结果有16种，分别为：

（B1，B2，B3，B4），（），（），（），（），

（，B3，B4），（），（），（），（），

（），（），（），（），（），

（），

其中，恰有两个组化验结果呈阳性，即需要进一步逐个化验的情况有6种，分别为：

（，B3，B4），（），（），（），（），（），

每组化验结果呈阴性与阳性互为对立，

∴每组化验呈阳性的概率都为，

则上述每个结果出现的可能性都相等，

∴恰有两个组需要进一步逐个化验的概率为P（B）＝＝．

19．已知四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°

，∠BCD＝30°

．现将△ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD，AD⊥CD．点P在线段AD上，平面BPC将三棱锥A﹣BCD分成两部分，VA﹣BPC：

VA﹣BCD＝1：

2．

（1）求证：

BP⊥平面ACD；

（2）若M为CD的中点，求M到平面BPC的距离．

【解答】

（1）证明：

因为AB﹣AD，∠BAD＝60°

，所以△ABD为等边三角形，

因为VA﹣BPC：

2，VA﹣BPC＝VD﹣BPC，

设点A到平面BPC的距离为hA，点D到平面BPC的距离为hD，

所以，

所以hA＝hD，即，所以P为AD的中点，所以BP⊥AD，

取BD的中点E，连结AE，则AE⊥BD，

又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩