34 简单线性规划第2课时 教案高中数学必修五北师大版Word格式文档下载.docx

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5.可行域:

由所有可行解组成的集合称为可行域.

6.最优解:

可行域内使目标函数取最大值或最小值的解称为最优解,最优解一定在可行域里面,一般在边界处取得,最优解不一定只有一个,它可以有无数个.

二、目标函数的最值问题

在求目标函数z=ax+by+c的最值时,根据y的系数的正负,可分为以下两种情形求最值.

1.求目标函数z=ax+by+c,b>

0的最值.

在线性约束条件下,当b>

0时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为:

（1）作出可行域；

（2）作出直线l0：

ax+by=0；

（3）确定l0的平移方向,若把l0向上平移,则对应的z值随之增大；

若把l0向下平移,所对应的z值随之减小,依可行域判定取得最优解的点.

（4）解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值.

2.求目标函数z=ax+by+c,b<

在线性约束条件下,当b<

（2）作出直线l0:

ax+by=0;

（3）确定l0的平移方向:

若把l0向上平移,所得相应z值随之减小；

若把l0向下平移,所对应的z值随之增大,依可行域判定取得最优解的点.

注意：

确定最优解的方法:

①将目标函数的直线平移,最先通过或最后通过的顶点便是最优解；

②利用围成可行域的直线的斜率来判断,若围成可行域的直线l1,l2,…,ln的斜率分别为k1<

k2<

…<

kn,且目标函数的斜率为k,则当ki<

k<

ki+1时,直线li与li+1相交的点一般是最优解.

知能自主梳理

对于变量x、y的约束条件，都是关于x、y的一次不等式，称为.z=f（x,y）是欲达到的最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做，当f（x、y）是x,y的一次解析式时，z=f（x、y）叫做.

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为；

满足线性约束条件的解（x，y）叫做；

由所有可行解组成的集合叫做；

使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做.

［答案］　线性约束条件　目标函数　线性目标函数　线性规划问题　可行解　可行域最优解

思路方法技巧

命题方向　求线性目标函数的最值问题

x-4y≤-3

［例1］　设Z=2x+y，式中变量x，y满足条件3x+5y≤25，求Z的最大值和最小值.

x≥1

［分析］　由于所给约束条件及目标函数均为关于x，y的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解.

［解析］　作出不等式组表示的平面区域（即可行域），如图所示.

把Z=2x+y变形为y=-2x+Z，得到斜率为-2，在y轴上的截距为Z，随Z变化的一族平行直线.

由图可看出，当直线Z=2x+y经过可行域上的点A时，截距Z最大，经过点B时，截距Z最小.

x-4y+3=0

解方程组，得A点坐标为（5，2），

3x+5y-25=0

x=1

解方程组，得B点坐标为（1，1），

x-4y+3=0

所以Zmax=2×

5+2=12，Zmin=2×

1+1=3.

［说明］　由本题的求解可以发现，解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，准确地理解Z的几何意义，线性规划最优解一般是在可行域的边界处取得.

x+y≤6,

变式应用1　（2011·

大纲文，4）若变量x、y满足约束条件x-3y≤-2,则z=2x+3y

x≥1,

最小值为（　　）

A.17B.14C.5D.3

［答案］　C

［解析］　本题主要考查了简单的线性规划问题，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数，即可求出最小值，注意各直线的斜率之间的关系.

x+y≤6，

由x-3y≤-2，作出可行域如图

x≥1.

作出l0:

2x+3y=0，在可行域内平移l0，显然当l0过A点时z=2x+3y取最小值.

x-3y=-2

联立得A（1,1）

x=1

∴z=2x+3y的最小值为2×

1+3×

1=5.

命题方向　利用线性规划问题求取值范围

［例2］　已知二次函数f（x）=ax2-c（a≠0）满足-4≤f

（1）≤-1,-1≤f

（2）≤5，试求f（3）的取值范围.

［分析］　本题看似不是线性规划问题，但经过思考、提取信息可以看成一个简单的线

-4≤a-c≤-1

性规划问题求解.否则直接用不等式知识求解，容易出现由求出a,c的范围，

-1≤4a-c≤5

进而确定f（3）的范围而发生错误.

［解析］　∵f（x）=ax2-c（a≠0）,

　　　f

（1）=a-c

∴　　　　　　，又∵-4≤f

（1）≤-1,-1≤f

（2）≤5,

f

（2）=4a-c

∴，作出其可行域如图所示.

-1≤4a-c≤5

根据题意可得目标函数f（3）=9a-c,作直线l:

9a-c=0,当直线l向下平移时，所对应的f（3）=9a

-c的函数值随之增大，∴当直线l经过可行域的顶点B时，f（3）=9a-c取得最大值.解方程组

a-c=-4

，得B（3,7）,

4a-c=5

∴f（3）max=9×

3-7=20.当直线l向上平移时，所对应的f（3）=9a-c的函数值随之减小，

a-c=-1

∴当直线l经过可行域的顶点A时，f（3）=9a-c取得最小值.解方程组，

4a-c=-1

得A（0,1）,∴f（3）min=9×

0-1=-1,

∴f（3）的取值范围为［-1,20］.

变式应用2　（2012·

抚州市统考）已知f（x）=4（a-3）x+b-2a,x∈［0,1］,若f（x）≤2恒成立，求t=a+b的最大值.

f（0）=b-2a≤2

［解析］　函数f（x）类似一次函数，由此可得，，

f

（1）=b+2a-12≤2

b≤2a+2

即，

b≤-2a+14

作出可行域，如图中阴影部分所示，作直线l0:

a+b=0,当直线l0向下平移时，所对应的t=a+b的值随之减小，当直线l0向上平移时，所对应的t=a+b的值随之增大.所以当直线经过可行域的顶点M时，t=a+b取得最大值，又M（3，8），所以tmax=3+8=11,所以t=a+b的最大值是11.

探索延拓创新

命题方向　求非线性目标函数的最值问题

x-y+2≥0

［例3］　已知x+y-4≥0，求：

2x-y-5≤0

（1）z=x2+y2-10y+25的最小值；

（2）z=的范围.

［分析］　

（1）其中z=x2+y2-10y+25=（x-0）2+（y-5）2的几何意义为平面区域内的点（x,y）到（0，5）距离的平方；

（2）z==2·

的几何意义为平面区域内的点（x,y）与（－1,-）连线斜率的2倍.关键将目标函数进行变形找到其几何意义，再利用数形结合知识求解.

［解析］　

（1）作出可行域,如图.

A（1,3）,B（3,1）,C（7,9）.

（1）z=x2+（y-5）2表示可行域内任一点（x,y）到点M（0，5）的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足在AC上，故

｜MN｜＝==.

|MN|2=,所以z=x2+y2-10y+25的最小值为.

（2）z=2·

表示可行域内点（x,y）与定点Q（-1,-）连线斜率的2倍．

∵kQA=,kQB=，故z的范围是［,］.

［说明］　1.对形如z=（x-a）2+（y-b）2型的目标函数均可化为求可行域内的点（x,y）与点（a,b）间的距离的平方最值问题．

2.对形如z=（ac≠0）型的目标函数，可先变形为z=·

的形式，将问题转化为求可行域内的点（x,y）与（-,-）连线斜率的倍的范围、最值等．注意斜率不存在的情况.

y≥0

变式应用3　已知实数x,y满足不等式组x-y≥0，求ω=的取值范围.

2x-y-2≥0

［解析］　作出可行域如图所示.

因为表示可行域中的点（x,y）与点（－1,1）连线的斜率.显然可行域内A点与点（-1,1）连线斜率最小，并且斜率没有最大值，最大值始终小于1，所以kmin==-，kmax不存在，所以ω=的取值范围是［-,1）.

名师辨误做答

3x+2y≤10

［例4］设变量x,y满足条件x+4y≤11，求S=5x+4y的最大值.

x∈Z,y∈Z

x>

0,y>

［误解］　依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x、y为整数的条件，则当直线5x+4y=S过点A（）时，S=5x+4y取最大值，Smax＝.

因为x、y为整数，而离点A最近的整点是C（1,2），这时S=13,所要求的最大值为13.

［辨析］　显然整点B（2,1）满足约束条件，且此时S=14,故上述解法不正确.

对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点.

而要先对边界点作目标函数t=Ax+By的图像，

则最优解是在可行域内离直线t=Ax+By最近的整点.

［正解］　依约束条件画出可行域如上述解法中的图示，作直线l：

5x+4y=0,平行移动直线l经过可行域内的整点B（2,1）时，Smax＝14.

课堂巩固训练

一、选择题

x≤2

1.若x,y满足约束条件y≤2,则目标函数z=x+2y的取值范围是（　　）

x+y≥2

A.［2,6］B.［2,5］C.［3,6］D.［3,5］

［答案］　A

［解析］　画出不等式组y≤2表示的可行域为如图所示的△ABC.

作直线l:

x+2y=0,平行移动直线l,当直线l经过可行域内的点B（2,0）时z取最小值2，当直线l经过可行域内的点A（2,2）时，z取最大值6，故选A.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x≥1,

2.（2011·

天津文，2）设变量x,y满足约束条件　　x+y-4≤0,则目标函数z=3x-y的最大值

x-3y+4≤0,

为（　　）

A.－4B.0C.D.4

［答案］　D

［解析］　本题考查了利用线性规划求最值，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域，则区域端点的值为目标函数的最值，求出交点坐标代入目标函数即可.

x≥1,

由x+y-4≤0,

作出可行域如图：

当直线z=3x-y过点A（2,2）点时z有最大值.z最大值=3×

2-2=4.

0≤x≤

3.（2011·

广东理，5）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组y≤2给定.

x≤y

若M（x,y）为D上的动点，点A的坐标为（,1），则z=·