泰勒展开式中余项的应用设计1Word文档格式.docx
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泰勒展开式;
佩亚诺型余项;
拉格朗日型余项;
泰勒级数.
1引言
泰勒展开式是18世纪早期英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒展开式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.此外泰勒展开式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差.在高等数学中,泰勒展开式占有重要地位,并以各种形式贯穿全部内容,它可广泛应用与多种数学问题,集中体现了微积分和逼近法的精髓.在微积分及相关领域的各个方面都有重要的应用,在数学计算和在信息科学的研究中,泰勒多项式几乎是开辟计算捷径道路的基础.
事实上,各种数学分析教材的内容侧重点有所不同,而且一般高等数学教材中仅介绍了如何用泰勒展开式展开函数,对泰勒展开式的应用方法并未作深入讨论.初学者在解题时总是不善于将题目和泰勒展开式的应用联系在一起,在没有理解泰勒展开式的前提下,写出常见函数的泰勒展开式只是一种机械的行为.那么如何学好和应用好泰勒展开式呢?
这并不是一件简单的事情，本文将对此课题进行归纳总结,主要介绍带佩亚诺型余项和带拉格朗日型余项的泰勒展开式在各种问题中的应用,并附以典型例题来归纳演绎,将此类问题更加系统化、专门化地呈现出来.通过总结,希望能为初学者提供有益的帮助.
2预备知识
2.1泰勒多项式
我们在学习导数和微分概念时已经知道,如果函数在点可导则有
.
即在点附近,用一次多项式逼近函数时,其误差为的高阶无穷小量,然而在很多场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用到二次或高于二次的多项式去逼近,并要求误差为,其中为多项式的次数.为此我们考察任意次多项式
逐次求它在点处的各阶导数,得到
,,…,,
即
,,…,.
由此可见,多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定.
对于一般函数,设它在点存在直到阶的导数,由这些导数构造一个次多项式
称为函数在点处的泰勒（Taylor）多项式,的各项系数称为泰勒系数.
2.2泰勒展开式的余项
2.2.1佩亚诺型余项
若函数在点存在直到阶的导数,则,即
上式称为函数在点处的泰勒公式,称为泰勒公式的余项,形如的余项称为佩亚诺（Peano）型余项.
特别的,当时,称泰勒公式的特殊形式
为带有佩亚诺型余项的麦克劳林（Maclaurin）公式.
2.2.2拉格朗日型余项
若函数在上存在直到阶的连续导函数,在内存在阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点,使得
上式同样称为泰勒公式,它的余项为
.
称为拉格朗日（Largrange）型余项.
当时,得到泰勒公式
为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.
2.2.3积分型余项与柯西型余项
若函数在点的邻域内有连续的阶导数,则,有
其中称为积分型余项.
由于连续,在（或）上保持同号,因此由推广的积分第一中值定理,可将积分型余项写成,其中介于与之间,这就将积分型余项转化成拉格朗日余项.如果直接对积分型余项用积分第一中值定理,则得到
由于
因此又可进一步把改写为
.
上式称为泰勒公式的柯西（Cauchy）型余项.
2.3泰勒级数
函数在处的泰勒公式为
在上式中抹去余项,那么在附近可用上式右边的多项式来近似代替,如果函数在处存在任意阶导数,这时称形式为
的级数为函数在的泰勒级数.
当时,称
为函数的麦克劳林级数.
如果在某邻域内等于其泰勒级数的和函数,则称该级数为在点处的泰勒展开式.显然在处的泰勒级数收敛的充要条件是在处泰勒公式中的余项极限为,即.
3泰勒展开式余项的应用
不同余项的泰勒公式之间是可相互转换的,但是不同的余项在解决不同类型的问题时有各自的优点.接下来将通过一些典型例题展开对泰勒公式中不同类型余项应用的讨论,加深对泰勒公式余项及其应用的认识.
3.1佩亚诺型余项的应用
带佩亚诺型余项的泰勒公式在极限运算,判断函数凹凸性,判别广义积分和级数敛散性等方面都有很巧妙的用处.
3.1.1极限运算的应用
在函数极限运算中,不定式极限的计算是重要内容,因为这是比较困难的一类问题.在计算不定式极限时,我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小相结合.但对于有些未定式极限问题如果应用泰勒公式求解,会更加简单明了.
例1求极限.
分析:
此为型极限,若用洛必达法则求解至少要用三次,求导过程也会很繁琐.这时可将原极限中每一项分别用带佩亚诺型余项的泰勒公式代替,则可简化此比式,进而求得极限结果.
解:
由函数在处的带佩亚诺型余项的泰勒公式可以得到
,
将以上结果代入极限式中,有
例2求极限.
由和可知这是型的极限问题.若用洛必达法则求解,计算过程将十分繁琐,可以考虑借用带佩亚诺型的泰勒公式求极限.这里需要注意的是计算过程中无穷小的计算和泰勒公式展开的项数,由于本题分子中只需要展开到就已足够,这是因为分母是,所以要求分子的佩亚诺型余项是比高阶的无穷小.
.
将以上结果带入极限式中,有
例3求极限.
这是型的极限问题.要取得有限极限值,则必须要求两个无穷大是同阶的.由于的极限是,故是的三阶无穷大,并且也是的三阶无穷大.显然,此题的解答用带佩亚诺型余项的泰勒公式去替换和较为方便.另一方面,由于和两项都出现了,不妨令做为变量进行替换.
令,将和在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,并代入原极限式中,可以得到
例4求极限.
考虑到极限式中含有,在应用泰勒公式时应取.
将函数在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,得到
将上式代入极限式中,有
带有佩亚诺型余项的泰勒公式在极限运算中是个有力的工具,熟练掌握会使函数极限运算变得简单.
3.1.2判断函数凹凸性及拐点
泰勒展开式在各个领域有着广泛的应用,不少书中利用它来判断函数的单调性和极值.同样可以尝试利用泰勒展开式来研究函数的凹凸性及拐点.
例5设在上连续,且在上具有一阶和二阶导数.若在内,则为的凸函数.
证明:
设为内任意两点,且足够小.为中的任意两点,令,将在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,有
.
（1）
将分别代入
（1）式中,得到
（2）
.（3）
（2）加（3）,得到
.因为函数泰勒公式中的佩亚诺型余项为的高阶无穷小量,而又足够小,因此可以得到的符号与相同.另一方面,又因为,所以,从而有
即,故
由的任意性可得,在足够小的区间上是凸函数.再由的任意性可得在内任意一个足够小的区间内部都是凸函数,从而在内是凸函数.
本题的关键在于利用泰勒展开式的余项建立了三个等式，进而进行推理证明。
例6如果在某内阶可导,满足,并且.证明:
若为奇数,则为拐点;
若为偶数,则不是拐点.
将导函数在点处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,有
由于,代入上式中有
又因为泰勒展开式的余项为的高阶无穷小,所以在内有与同号.从而可以得到当为奇数时,在点的两边,异号所以的符号相异,从而为拐点.当n为偶数时,在点的两边的符号相同,所以不是拐点.
3.1.3判别广义积分收敛性
在判定广义积分的收敛性时通常用作为比较对象,从而利用比较判别法的极限形式判别无穷积分的收敛性.于是判定广义积分的收敛性问题也就变成如何选取恰当的以便更好地应用比较判别法.我们可以通过带佩亚诺型余项的泰勒公式来研究的阶,从而找到恰当的顺利解决问题.
例6研究广义积分的敛散性.
分别将,在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,可以得到
代入被积函数中,有
因此.又因为积分收敛,由比较判别法知原广义积分也收敛.
例7讨论无穷积分的敛散性.
将被积函数在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,得
选取,因为而,所以由无穷积分敛散性判别定理得知收敛.
例8判断广义积分是否收敛？
由函数在处的带佩亚诺型余项的泰勒公式,有
于是可以得到
代入积分表达式中并整理,有
由于,所以是的一阶无穷大量,而发散,故由比较判别法知原积分也发散.
3.1.4判别级数敛散性
泰勒展开式能将某些函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能使得在级数的通项表达式是由不同类型函数构成的繁琐形式时,可以进行简化或转换成统一形式,以便于利用判别准则判断级数敛散性.
例9讨论级数的敛散性.
首先需要判断级数是否为正项级数,但直接根据级数的通项去判断存在一定的困难,也就难以选择恰当的判别方法.而对于,若令,不妨考虑将进行泰勒展开,就得到的方幂形式.开二次方之后与相呼应,会简化判别过程.
不妨设,将在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,有
令,代入上式,
在不等式两边同时开二次方,得到,从而有.故该级数是正项级数.因为,所以.由于级数收敛,由正项级数比较判别法知原级数收敛.
例10判断级数的敛散性.
将函数,分别在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,得到
代入原级数中并整理,有
因此有,由比较原则的极限形式知,级数和级数同敛散性.又因为正项级数发散,所以原级数发散.
例11设偶函数二阶导数在点邻域内连续,且满足,,则级数绝对收敛.
题中已知条件“二阶导数在点邻域内连续”这一信息提示可使用泰勒公式,而,可以使在点的展开式变得简单,便于用比较判别法判别收敛.但是泰勒公式中缺少的值,不妨考虑剩余的条件“偶函数”.
因为是偶函数,由偶函数的性质有,在等式两边同时对求导,得.令,则有,故而.将在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,得
令,代入上式中,得到.等式两边同时在时取极限,有
由比较原则的极限形式知,级数与级数同敛散.又因为级数收敛,所以级数收敛,从而级数绝对收敛.
3.2拉格朗日型余项的应用
佩亚诺型余项只是对余项的定性估计,而拉格朗日型余项则是对余项的定量表达,因此它在证明等式和不等式,精确估计方面有重要作用.
3.2.1一些等式或不等式的应用
泰勒公式在等式或不等式证明中有着重要的应用,应用的关键在于根据题设条件如何选取需要展开的函数、在哪一点的邻域展开以及展开的阶数等.
例12设函数在上连续,且在内二阶连续可导,试证明必使得.
题中已知条件告知二阶连续可导而且等式中出现二阶导数,高阶导数的存在提示我们使用展开到二阶导数的泰勒公式是一种可行途径,问题在于如何选取适当的展开点并建立等式.而待证的等式中出现了在点,,的函数值,不妨考虑将在点处进行泰勒展开,再分别令进而找出与的关系.
把,在点按带泰勒公式展开到二阶导数项,得
,
（1）
.
（2）
（1）加
（2）并移项整理,有
另一方面
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