1997年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案Word文件下载.docx
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（4）已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面都相等,且AB=AC=,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是
（A）arocos（/3）
（B）arccos（1/3） （C）π/2
（D）2π/3
（5）函数y=sin[（π/3）-2x]+cos2x的最小正周期是
（A）π/2 （B）π （C）2π （D）4π
（6）满足arccos（1-x）≥arccosx的x的取值范围是
（A）[-1,-1/2] （B）[-1/2,0] （C）[0,1/2] （D）[1/2,1]
（7）将y=2x的图象
（A）先向左平行移动1个单位 （B）先向右平行移动1个单位
（C）先向上平行移动1个单位 （D）先向下平行移动1个单位
再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2（x+1）的图象.
（8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是
（A）20π （B）25π （C）50π （D）200π
（10）函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为
（A）2 （B）6 （C）-1/4 （D）6
（12）圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是
（A）2π/3 （B）2π （C）7π/6 （D）7π/3
（13）定义在区间（-∞,+∞）的奇函数f（x）为增函数；
偶函数g（x）在区间［0,+∞）的图象与f（x）的图象重
合.设a>
b>
0,给出下列不等式:
①f（b）-f（-a）>
g（a）-g（-b）;
②f（b）-f（-a）<
③f（a）-f（-b）>
g（b）-g（-a）;
④f（a）-f（-b）<
g（b）-g（-a）,
其中成立的是
（A）①与④ （B）②与③ （C）①与③ （D）②与④
（A）{x|0＜x＜2}
（B）{x|0＜x＜2.5}
（C）{x|0＜x＜}
（D）{x|0＜x＜3}
（15）四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有
（A）150种 （B）147种 （C）144种 （D）141种
第Ⅱ卷（非选择题共85分）
二．填空题:
本大题共4小题;
每小题4分,共16分．把答案填在题中横线上．
16．已知的展开式中的系数为,常数a的值为________
17．已知直线的极坐标方程为sin（）=,则极点到该直线的距离是_____
18．的值为_______
19．已知m,l是直线，、是平面，给出下列命题：
①若l垂直于内的两条相交直线，则l；
②若l平行于,则l平行于内的所有直线；
③若,,且,则；
④若,且,则；
⑤若,,且∥,则∥．
其中正确的命题的序号是_______（注:
把你认为正确的命题的序号都填上）
三．解答题:
本大题共6小题;
共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20．（本小题满分10分）
已知复数,．复数,在复数平面上所对应的点分别为P,Q．证明是等腰直角三角形（其中为原点）．
21．（本小题满分11分）
已知数列,都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p>
q,且，．设,Sn为数列的前n项和．求．
22．（本小题满分12分）
甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已
知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：
可变部分与速度v
（千米/时）的平方成正比、比例系数为b；
固定部分为a元．
I．把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定
义域；
II．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
23．（本小题满分12分）
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
I．证明ADD1F；
II．求AE与D1F所成的角；
III．证明面AED面A1FD1；
IV．设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积
24．（本小题满分12分）
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>
0）,方程f（x）－x=0的两个根x1,x2满足0<
x1<
x2<
．
I．当x（0,x1）时，证明x<
f（x）<
x1；
II．设函数f（x）的图像关于直线x=x0对称，证明x0<
25．
（25）（本小题满分12分）
设圆满足：
①截y轴所得弦长为2；
②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:
1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:
x-2y=0的距离最小的圆的方程．
数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准
一．选择题:
本题考查基本知识和基本运算．
1．B2．B3．A4．C5．B6．D7．D8．C9．B10．B11．A12．D13．C14．C15．D
本题考查基本知识和基本运算．
16．417．18．19．①，④
注:
第（19）题多填、漏填和错填均给0分．
三．解答题
20．本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．
解法一：
于是
因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．
因为，所以
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．
解法二:
因为，所以．
由此得OP⊥OQ，│OP│=│OQ│．
（21）本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．满分11分．
解:
．
分两种情况讨论．
（Ⅰ）p>
1．
∵
=
=p．
（Ⅱ）p<
∵0<
q<
p<
1，
（22）本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分．
解：
（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为
故所求函数及其定义域为
（Ⅱ）依题意知S，a，b，v都为正数，故有
当且仅当．即时上式中等号成立
若，则当时，全程运输成本y最小，
若，则当时，有
因为c－v≥0，且a>
bc2，故有a－bcv≥a－bc2>
0，
所以，且仅当v=c时等号成立，
也即当v=c时，全程运输成本y最小．
综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；
当时行驶速度应为v=c．
（23）本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分．
（Ⅰ）∵AC1是正方体，
∴AD⊥面DC1．
又D1F面DC1，
∴AD⊥D1F．
（Ⅱ）取AB中点G，连结A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．
设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°
，即直线AE与D1F所成角为直角．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED．又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1．
（Ⅳ）连结GE，GD1．
∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1，
∴
∵AA1=2，
∴正方形ABB1A1
（24）本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．
证明:
（Ⅰ）令F（x）=f（x）－x．因为x1，x2是方程f（x）－x=0的根，所以
F（x）=a（x－x1）（x－x2）．
当x∈（0，x1）时，由于x1<
x2，得（x－x1）（x－x2）>
0，又a>
0，得
F（x）=a（x－x1）（x－x2）>
即x<
f（x）．
因为
所以x1－x>
0，1+a（x－x2）=1+ax－ax2>
1－ax2>
0．
得x1－f（x）>
由此得f（x）<
x1．
（Ⅱ）依题意知
因为x1，x2是方程f（x）－x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b－1）x+c=0的根．
∴，
因为ax2<
1，所以．
（25）本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分．
解法一:
设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为│b│，│a│．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°
，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有
r2=a2+1．
从而得2b2－a2=1．
又点P（a，b）到直线x－2y=0的距离为
，
所以5d2=│a－2b│2
=a2+4b2－4ab
≥a2+4b2－2（a2+b2）
=2b2－a2=1，
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．
由此有
解此方程组得
或
由于r2=2b2知．
于是，所求圆的方程是
（x－1）2+（y－1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．
同解法一，得
得①
将a2=2b2－1代入①式，整理得
②
把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即
△=8（5d2－1）≥0，
得5d2≥1．
∴5d2有最小值1，从而d有最小值．
将其代入②式得2b2±
4b+2=0．解得b=±
将b=±
1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±
综上a=±
1，b=±
1，r2=2．
由=1知a，b同号．
（x－1）2+（y－1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2
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