学年高中数学 第三章 三角函数 32 任意角的三角函数 323 诱导公式一学案 湘教版必修2Word文档格式.docx

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S|k360，kZ，即任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和2设为任意角，则2k，2，的终边与的终边之间的对称关系.相关角终边之间的对称关系2k与终边相同与关于原点对称与关于x轴对称2与关于x轴对称与关于y轴对称预习导引1诱导公式一四（其中kZ）

（1）公式一：

sin（2k）sin，cos（2k）cos，tan（2k）tan.

（2）公式二：

.sin（）sin，cos（）cos，tan（）tan.（3）公式三：

sin（）sin，cos（）cos，tan（）tan.（4）公式四：

sin（）sin，cos（）cos，tan（）tan.2诱导公式一四的记忆方法k（kZ）的三角函数值，等于的同名函数值，前面添上一个把看成锐角时原函数值的符号简记为“函数名不变，符号看象限”.要点一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值：

（1）sin1320；

（2）cos；

（3）tan（945）解

（1）方法一sin1320sin（3360240）sin240sin（18060）sin60.方法二sin1320sin（4360120）sin（120）sin（18060）sin60.

（2）方法一coscoscoscos（）cos.方法二coscoscoscos.（3）tan（945）tan945tan（2252360）tan225tan（18045）tan451.规律方法此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数求解如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数跟踪演练1求sincos（nZ）的值解当n为奇数时，原式sinsinsincos.当n为偶数时，原式sincossincossin.综上，原式.要点二给值求值问题例2已知cos（75），且为第四象限角，求sin（105）的值解cos（75）0，且为第四象限角，75是第三象限角sin（75）.sin（105）sinsin（75）.规律方法解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式跟踪演练2已知cos（），2，求sin（3）cos（）的值解cos（）cos，cos，2，2，sin.sin（3）cos（）sin（3）cos（）sin（）（cos）sincos（sincos）.要点三三角函数式的化简例3化简下列各式：

（1）（kZ）；

（2）.解

（1）当k2n（nZ）时，原式1；

当k2n1（nZ）时，原式1.综上，原式1.

（2）原式1.规律方法三角函数式的化简方法：

（1）利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数

（2）常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数（3）注意“1”的变式应用：

如1sin2cos2tan.跟踪演练3化简下列各式：

（1）；

（2）.解

（1）原式1.

（2）原式.1求下列三角函数的值：

（1）sin690；

（3）tan（1845）解

（1）sin690sin（360330）sin330sin（180150）sin150sin（18030）sin30.

（2）coscoscos（6）coscoscos.（3）tan（1845）tan（536045）tan（45）tan451.2化简：

.解原式1.3求.解原式1.4证明：

（1）ncos，nZ.证明当n为偶数时，令n2k，kZ，左边cos.右边

（1）2kcoscos，左边右边当n为奇数时，令n2k1，kZ，左边cos.右边

（1）2k1coscos，左边右边综上所述，

（1）ncos，nZ成立1.明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为02之间的角求值公式二将负角转化为正角求值公式三将角转化为0之间的角求值公式四将02内的角转化为0之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上可以是任意角一、基础达标1如果，满足，那么下列式子中正确的个数是（）sinsin；

sinsin；

coscos；

coscos.A1B2C3D4答案B解析，sinsin（）sin，coscos（）cos，正确的是.2sin585的值为（）AB.CD.答案A3若n为整数，则代数式的化简结果是（）AtanBtanCtanD.tan答案C4若cos（），2，则sin

（2）等于（）A.BC.D答案D解析由cos（），得cos，故sin

（2）sin（为第四象限角）5tan（5）m，则的值为（）A.B.C1D1答案A解析原式.6记cos（80）k，那么tan100等于（）A.BC.D答案B解析cos（80）k，cos80k，sin80.tan80.tan100tan80.7已知cos，则cos.答案解析coscoscos.二、能力提升8若sin（）log8，且，则cos（）的值为（）A.BCD以上都不对答案B解析sin（）sinlog2322，cos（）cos.9已知tan（4）m（m1），则的值为答案10设f（x）asin（x）bcos（x）2，其中a、b、为非零常数若f（2013）1，则f（2014）.答案3解析f（2013）asin（2013）bcos（2013）2asin（）bcos（）22（asinbcos）1，asinbcos1，f（2014）asin（2014）bcos（2014）2asinbcos23.11若cos（），求的值解原式tan.cos（）cos（）cos，cos.为第一象限角或第四象限角当为第一象限角时，cos，sin，tan，原式.当为第四象限角时，cos，sin，tan，原式.综上，原式.12已知tan，是关于x的方程3x23kx3k2130的两实根，且3，求cos

（2）sin

（2）的值解因为tan，是关于x的方程3x23kx3k2130的两实根，所以tan（3k213）1，可得k2.因为30，sin0，cos0，故k，所以tan，所以sincos，所以（cossin）212sincos12.因为cossin0，所以cossin.所以cos

（2）sin

（2）cossin.三、探究与创新13在ABC中，若sin（2A）sin（B），cosAcos（B），求ABC的三个内角解由条件得sinAsinB，cosAcosB，平方相加得2cos2A1，cosA，又A（0，），A或.当A时，cosB0，B，A，B均为钝角，不合题意，舍去A，cosB，B，C.