学年高中数学第一章三角函数9三角函数的简单应用学案北师大版必修40108252Word下载.docx

学年高中数学第一章三角函数9三角函数的简单应用学案北师大版必修40108252Word下载.docx

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（3）f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．

【预习评价】

在函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）中，A，b与函数的最值有何关系？

提示　A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：

（1）ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；

（2）A＝，b＝.

题型一　已知解析式求周期最值

【例1】　交流电的电压E（单位：

V）与时间t（单位：

s）的关系可用E＝220·

sin来表示，求：

（1）开始时电压；

（2）电压值重复出现一次的时间间隔；

（3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间．

解　

（1）当t＝0时，E＝110（V）．

即开始时的电压为110V.

（2）T＝＝（s），即时间间隔为0.02s.

（3）电压的最大值为220V.

当100πt＋＝，即t＝s时第一次取得最大值．

规律方法　由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键．

【训练1】　单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s（cm）和时间t（s）的函数关系为s＝6sin.

（1）作出它的图像；

（2）单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？

（3）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？

（4）单摆来回摆动一次需要多少时间？

解　

（1）图略．

（2）当t＝0时，

s＝6sin＝6×

＝3，即

单摆开始摆动时，离开平衡位置3cm.

（3）s＝6sin的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.

（4）s＝6sin的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1s.

题型二　已知模型求解析式

【例2】　如图所示，表示电流I与时间t的关系式：

I＝Asin（ωt＋π）（A＞0，ω＞0）在一个周期内的图像．根据图像写出I＝Asin（ωt＋φ）的解析式．

解　由图像可知A＝300，

又T＝2＝，∴ω＝＝100π.

又∵t＝－时，ωt＋φ＝0，

∴100π（－）＋φ＝0即φ＝，

∴I＝300sin.

规律方法　将实际问题的“条件”与函数模型“y＝Asin（ωx＋φ）＋B”中A，ω，φ，B的意义对照，转化为数学问题是解决应用题的关键．

【训练2】　如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为________．

解析　设该振子振动的函数解析式为y＝Asin（ωx＋φ），由图可知，该振子作简谐运动的图像的平衡位置是t轴，振幅A为2，

周期T＝2×

（0.5－0.1）＝0.8，所以ω＝＝，

则y＝2sin.

将点（0.1,2）代入，得φ＝.

故该振子振动的函数解析式为y＝2sin.

答案　y＝2sin

【例3】　据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋7来表示（x为月份），已知3月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为5万元，则国庆节期间的价格约为（　　）

A．4.2万元B．5.6万元

C．7万元D．8.4万元

解析　由题知A＝2，T＝2×

（7－3）＝8，

∴ω＝，φ＝－.

∴f（x）＝2sin＋7，

把x＝10代入得y＝7＋≈8.4万元．

答案　D

【迁移1】　例3改为问：

在一年内商品价格不低于8万元的时间持续多长？

解　由f（x）＝2sin＋7≥8易知有5个月的时间满足条件．

【迁移2】　例3中当价格低于7万元时销量大增，需要安排加班生产，问何时应该开始加班？

何时加班结束？

解　由2sin＋7＜7得5＜x＜9，所以应该在5月份开始加班，直到9月份加班结束．

规律方法　三角函数的应用在生产生活中的求解框图

课堂达标

1．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于（　　）

A.B.C.D.

解析　T＝，所以，＝＝2π，则l＝.

2.函数f（x）的部分图像如图所示，则f（x）的解析式可以是（　　）

A．f（x）＝x＋sinx

B．f（x）＝

C．f（x）＝xcosx

D．f（x）＝x·

·

解析　观察图像知，函数为奇函数，排除D；

又函数在x＝0处有定义，排除B；

令x＝，f＝0，A不合适，故选C.

答案　C

3.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ（－π＜θ＜π）与时间t（s）满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．

解析　t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式知单摆周期T＝＝π，频率为.

答案　

4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos（x＝1,2,3，…，12，A>

0）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.

解析　由题意得　∴

∴y＝23＋5cos，

当x＝10时，y＝23＋5×

＝20.5.

答案　20.5

5．如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在地面上2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心高度相同）时开始计时．

（1）求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；

（2）在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m.

解　

（1）设在ts时，摩天轮上某人在高hm处．这时此人所转过的角为t＝t，故在ts时，此人相对于地面的高度为h＝10sint＋12（t≥0）．

（2）由10sint＋12≥17，得sint≥，则≤t≤.

故此人有10s相对于地面的高度不小于17m.

课堂小结

1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象（运动）有着广泛的应用．

2．三角函数模型构建的步骤：

（1）收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．

（2）制作散点图，选择函数模型进行拟合．

（3）利用三角函数模型解决实际问题．

（4）根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.

基础过关

1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至（　　）

A．甲B．乙

C．丙D．丁

解析　该题目考察了最值与周期间的关系；

相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，选C.

2．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I＝Asin（ωt＋φ）（A>

0，ω>

0,0<

φ<

）的图像如图所示，则当t＝秒时，电流强度是（　　）

A．－5安B．5安

C．5安D．10安

解析　由图像知A＝10，＝－＝，

∴ω＝＝100π，∴I＝10sin（100πt＋φ）．

（，10）为五点中的第二个点，

∴100π×

＋φ＝.

∴φ＝，∴I＝10sin（100πt＋），

当t＝秒时，I＝－5安．

答案　A

3．若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天（下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图）．则月球绕地球一周所用的时间T为（　　）

A．24.5天B．29.5天

C．28.5天D．24天

解析　由题图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月、地、日一条线重新回到月、地、日一条线，完成一个周期．

答案　B

4．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________．

解析　∵T＝，又∵<

<

，

∴8π<

m<

9π，且m∈Z，

∴m＝26,27,28.

答案　26,27,28

5．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标有12的点B重合，将A、B两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．

解析　将解析式可写为d＝Asin（ωt＋φ）的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；

当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin.

答案　10sin

6.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（0<

）．

（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；

（2）写出这段曲线的函数解析式．

解　

（1）最大用电量为50万kW·

h，

最小用电量为30万kW·

h.

（2）观察图像可知从8～14时的图像是y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半个周期的图像，

∴A＝×

（50－30）＝10，b＝×

（50＋30）＝40.

∵×

＝14－8，∴ω＝.

∴y＝10sin＋40.

将x＝8，y＝30代入上式，

又∵0<

，∴解得φ＝.

∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．

7.如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：

（1）求出你与地面的距离y（米）与时间t（分钟）的函数关系式；

（2）当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？

解　

（1）由已知可设y＝40.5－40cosωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.

所以y＝40.5－40cost（t≥0）．

（2）设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cost0，得

cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8.

所以t＝8（分钟）时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20（分钟）．

能力提升

8．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）＝50＋4sin（其中0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内