江苏专用版高考数学一轮复习第九章平面解析几何93圆的方程文含答案Word下载.docx

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（1）点在圆上：

（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2；

（2）点在圆外：

（x0－a）2＋（y0－b）2>

r2；

（3）点在圆内：

（x0－a）2＋（y0－b）2<

r2.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）确定圆的几何要素是圆心与半径.（　√　）

（2）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），则以AB为直径的圆的方程是（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0.（　√　）

（3）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>

0.（　√　）

（4）方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆.（　×

　）

（5）圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是.（　×

（6）若点M（x0，y0）在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.（　√　）

1.（教材改编）x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是_________________________________.

答案　（2，－3）

解析　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心为，∴圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为（2，－3）.

2.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是______________.

答案　－2<

a<

解析　由题意知a2＋4a2－4（2a2＋a－1）>

0，

解得－2<

.

3.（2015·

北京改编）圆心为（1,1）且过原点的圆的方程是__________________.

答案　（x－1）2＋（y－1）2＝2

解析　∵圆的半径r＝＝，

∴圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.

4.（教材改编）圆C的圆心在x轴上，并且过点A（－1,1）和B（1,3），则圆C的方程为______________.

答案　（x－2）2＋y2＝10

解析　设圆心坐标为C（a,0），

∵点A（－1,1）和B（1,3）在圆C上，∴CA＝CB，

即＝，

解得a＝2，∴圆心为C（2,0），

半径CA＝＝，

∴圆C的方程为（x－2）2＋y2＝10.

5.（2015·

湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1,0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且AB＝2.

（1）圆C的标准方程为__________________；

（2）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.

答案　

（1）（x－1）2＋（y－）2＝2　

（2）－－1

解析　

（1）由题意，设圆心C（1，r）（r为圆C的半径），则r2＝2＋12＝2，解得r＝.

所以圆C的方程为（x－1）2＋（y－）2＝2.

（2）方法一　令x＝0，得y＝±

1，所以点B（0，＋1）.又点C（1，），所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－（＋1）＝x－0，即y＝x＋（＋1）.

令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.

方法二　令x＝0，得y＝±

1，所以点B（0，＋1）.又点C（1，），设过点B的切线方程为y－（＋1）＝kx，即kx－y＋（＋1）＝0.由题意，圆心C（1，）到直线kx－y＋（＋1）＝0的距离d＝＝r＝，解得k＝1.故切线方程为x－y＋（＋1）＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.

题型一　求圆的方程

例1　根据下列条件，求圆的方程.

（1）经过P（－2,4）、Q（3，－1）两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；

（2）圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：

x＋y－1＝0相切于点P（3，－2）.

解　

（1）设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

将P、Q两点的坐标分别代入得

又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③

设x1，x2是方程③的两根，

由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④

由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.

故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.

（2）方法一　如图，设圆心（x0，－4x0），依题意得＝1，

∴x0＝1，即圆心坐标为（1，－4），半径r＝2，

故圆的方程为（x－1）2＋（y＋4）2＝8.

方法二　设所求方程为（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2，

根据已知条件得

解得

因此所求圆的方程为（x－1）2＋（y＋4）2＝8.

思维升华　

（1）直接法：

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.

（2）待定系数法

①若已知条件与圆心（a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值.

（1）（2014·

陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点（1,0）关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为____________.

（2）过点A（4,1）的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B（2，1），则圆C的方程为________________.

答案　

（1）x2＋（y－1）2＝1　

（2）（x－3）2＋y2＝2

解析　

（1）由题意知圆C的圆心为（0,1），半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋（y－1）2＝1.

（2）由已知kAB＝0，

所以AB的中垂线方程为x＝3.①

过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－（x－2），即x＋y－3＝0，②

联立①②，

所以圆心坐标为（3,0），

半径r＝＝，

所以圆C的方程为（x－3）2＋y2＝2.

题型二　与圆有关的最值问题

命题点1　斜率型最值问题

例2　已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________.

答案　　－

解析　如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点（2,0）为圆心，以为半径的圆.

设＝k，即y＝kx，

则圆心（2,0）到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.

由＝，解得k2＝3，

∴kmax＝，kmin＝－.

（也可由平面几何知识，得OC＝2，CP＝，∠POC＝60°

，直线OP的倾斜角为60°

，直线OP′的倾斜角为120°

）

命题点2　截距型最值问题

例3　在例2条件下，求y－x的最小值和最大值.

解　设y－x＝b，则y＝x＋b，仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±

，

故（y－x）min＝－2－，

（y－x）max＝－2＋.

命题点3　距离型最值问题

例4　在例2条件下，求x2＋y2的最大值和最小值.

解　x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图）.

又因为圆心到原点的距离为＝2，

所以x2＋y2的最大值是（2＋）2＝7＋4，

x2＋y2的最小值为（2－）2＝7－4.

思维升华　与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略

（1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.

（2）与圆上点（x，y）有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u＝型的最值问题，可转化为过点（a，b）和点（x，y）的直线的斜率的最值问题；

②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；

③形如（x－a）2＋（y－b）2型的最值问题，可转化为动点到定点（a，b）的距离平方的最值问题.

（1）设P是圆（x－3）2＋（y＋1）2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则PQ的最小值为________.

答案　4

解析　PQ的最小值为圆心到直线的距离减去半径.因为圆的圆心为（3，－1），半径为2，所以PQ的最小值d＝3－（－3）－2＝4.

（2）已知M为圆C：

x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q（－2,3）.

①求MQ的最大值和最小值；

②若M（m，n），求的最大值和最小值.

解　①由圆C：

x2＋y2－4x－14y＋45＝0，

可得（x－2）2＋（y－7）2＝8，

所以圆心C的坐标为（2,7），半径r＝2.

又QC＝＝4.

所以MQmax＝4＋2＝6，

MQmin＝4－2＝2.

②可知表示直线MQ的斜率，

设直线MQ的方程为y－3＝k（x＋2），

即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.

由直线MQ与圆C有交点，

所以≤2，

可得2－≤k≤2＋，

所以的最大值为2＋，最小值为2－.

题型三　与圆有关的轨迹问题

例5　设定点M（－3,4），动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.

解　如图所示，设P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，

故＝，＝.从而

又N（x＋3，y－4）在圆上，故（x＋3）2＋（y－4）2＝4.

因此所求轨迹为圆：

（x＋3）2＋（y－4）2＝4，

但应除去两点和（点P在直线OM上的情况）.

思维升华　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

①直接法：

直接根据题目提供的条件列出方程.

②定义法：

根据圆、直线等定义列方程.

③几何法：

利用圆的几何性质列方程.

④代入法：

找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

　已知圆x2＋y2＝4上一定点A（2,0），B（1,1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点.

（1）求线段AP中点的轨迹方程；

（2）若∠PBQ＝90°

，求线段PQ中点的轨迹方程.

解　

（1）设AP的中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x－2,2y）.

因为P点在圆x2＋y2＝4上，

所以（2x－2）2＋（2y）2＝4，

故线段AP中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.

（2）设PQ的中点为N（x，y），连结BN.

在Rt△PBQ中，PN＝BN.

设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，

所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，

所以x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

19.利用几何性质巧设方程求半径

典例　在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程.

思维点拨　本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法.

规范解答

解　一般解法　（代数法）曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为（0,1），与x轴的交点为（3＋2，0），（3－2，0），设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>

0），

则有解得

故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.

巧妙解