华东师大版九年级数学上《解直角三角形》全章知识点精讲与练习.docx

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《解直角三角形》全章知识点

精讲与练习

【问题探索】

A

B

B1

B2

C

C1

C2

一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个锐角直角三形（如图），那么图中：

成立吗？

（1）当∠A变化时，上面等式仍然成立吗？

（2）上面等式的值随∠A的变化而变化吗？

【新课引入】

由前面的探索可以看出：

如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。

这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。

1、在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为∠A的正切，记作tanA即：

同理：

当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。

2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________，即：

sinA＝________=________.

3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：

cosA=______=_____。

（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？

）试试看____________________.

思考：

你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？

并填写下表：

三角函数值

三角函数

θ

30°

45°

60°

sinθ

cosθ

tanθ

（根据一付三角板的三边关系进行计算）

【总结归纳】

1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键；

2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。

【精选例题】

（一）锐角三角函数的概念

例1、

（1）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）

A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定

（2）Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=6cm，那么BC等于（）

A．8cmB．C.D.

（3）菱形ABCD的对角线AC=10cm，BC=6cm，那么tan为（）

A．B．C．D.

解析：

（1）角A的三角函数值都是两条边的比值，根据分式的基本性质——分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数（或整式），分式的值不变，而Rt△ABC各边都扩大5倍——倍数一样，因此两边比值也不变。

故选A；

（2）画直角三角形草图，根据cosA=可知，，可求AB=10，再用勾股定理求得BC=8。

故选A；

（3）画菱形ABCD，根据菱形“对角线互相垂直平分”、“每一条对角线平分一组对角”，可知两对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，根据正切函数的定义即可求出tan=。

故选A。

前思后想：

解答锐角三角函数题时，要把握几点：

解题必画图，概念记心中，定要找直角，没有就构造。

牛刀小试：

1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍,那么锐角A的各个三角函数值（）

A

B

C

D

A．都缩小B．都不变

C．都扩大3倍D．无法确定

2．如图，在正方形网格中,直线AB．CD相交所成的锐角为α，则sinα的值是（）

A.B.C.D.

3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是（）

A． B． C． D．

6

8

C

E

A

B

D

4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=则cosB=.

5．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，则tanB=．

答案：

1．B；2.C；3.C；4.；5.

（二）特殊角的三角函数值

例2计算下面各式：

①②

解析：

①==

②==

前思后想：

关于三角函数的计算题，要先代入（代入特殊角的三角函数值），再求值。

记住三角函数值最关键。

例3.已知∠A是锐角，且sinA=，那么∠A等于（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

解析：

根据对特殊角的三角函数值的记忆——sin60°=，进行反推，可知∠A=60°，故选C。

前思后想：

对于特殊角的三角函数值，要相当熟练，做到“倒背如流”——既能顺推，又能倒推。

牛刀小试：

1．计算：

（1）

（2）

2.已知为锐角，当无意义时，求tan（+15°）—tan（-15°）的值。

3.若，则=,

4．在△ABC中，若，则∠C的度数为．

5.在△ABC中，若│sinA—│+（—cosB）2=0，则∠C=_______度．

答案：

1．

（1）=4+—1=；

（2）=+4=3+

2．无意义，tan1，

tan（+15°）—tan（-15°）=tan60°—tan30°==。

3．，tan2=，，。

4．，，，A=45°，B=30°，∠C=105°。

5．│sinA—│+（—cosB）2=0，sinA=，cosB=。

A=30°，B=30°，∠C=120°。

（三）锐角三角函数的大小比较

1、当角度在0°～90°间变化时，

　　正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

2、当角度在0°<α<90°间变化时，

0cosα>0.

当角度在0°<α<90°间变化时，

tanα>0.

例4.

（1）化简＝（）。

A．B.C.D.

（2）当锐角α>30°时，则cosα的值是（）

A．大于B．小于C．大于D．小于

解析：

（1）＝

就要讨论tan30°—1的正负性

tan30°=<1，tan30°—1<0，

=

故选A

（2）因为cos30°=，且当0°<<90°时，cos随着的增大而减小，所以锐角α>30°时，cos<。

故选D

前思后想：

可以根据特殊角的三角函数值，总结正弦、余弦和正切值随角度的变化而变化情况，也可以总结在某个范围内正弦与余弦的大小情况，以及正切值与1的大小情况。

牛刀小试：

1.用不等号“＞”或“＜”连接：

sin50°________cos50°。

2.已知30°<<<90°，则＝。

3.若太阳光线与地面成角，30°＜＜45°，一棵树的影子长为10米，则树高的范围是（）（取）

A、3＜＜5B、5＜＜10C、10＜＜15D、＞15

4.若0°<<45°，则下列各式中正确的是（）

A.sin>cosB.cos>sinC.tan>1D.tan>tan-1

答案：

1．因为sin45°=cos45°，角度增加，正弦增大，而余弦减小，所以，填“>”号；

2．因为“余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）”且30°<<<90°，

所以cos—cos<0，cos—cos30°<0，1—cos>0，

＝cos—cos—（—cos）+1—cos

＝1—

3．h=10tan，且30°＜＜45°，，故选B。

4．因为“正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）”，且“sin45°=cos45°”，“0°<<45°”，故选B。

（四）互余的两个角的三角函数

　sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα，　

例5.若sin28°=cosα，则α=________．

解析：

因为“cos（90°-α）=sinα”，所以α=90°—28°=62°.

前思后想：

sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα这两个公式可记可不记，直接用公式计算比较方便，也可以根据概念在直角三角形中求它互余的角的三角函数。

牛刀小试：

1．sin60°=cos_____=______；cos60°=sin________=________．

2.已知tan＝1（0°≤≤90°）则＝。

3.若=_____.

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，根据勾股定理有公式a2+b2=c2，根据三角函数的概念有sinA=，cosA=，sin2A+cos2A==1，=÷==tanA，其中sin2A+cos2A=1，=tanA可作为公式来用．例如，△ABC中，∠C=90°，sinA=，求cosA，tanA的值．

解法一：

∵sin2A+cos2A=1；

∴cos2A=1－sin2A=1－（）2=．

∴cosA=，tanA==÷=．

解法二：

∵∠C=90°，sinA=．

∴可设BC=4k，AB=5k．

由勾股定理，得AC=3k．

根据三角函数概念，得cosA=，tanA=．

运用上述方法解答下列问题：

（1）Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，求cosA，tanA的值；

（2）Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，求sinA，tanA的值；

（3）Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求sinA，cosA的值；

（4）∠A是锐角，已知cosA=，求sin（90°－A）的值．

答案：

1．cos30°，；sin30°，；

2．tan＝1（0°≤≤90°），，=。

3．，，

4．

（1）∠C=90°，sinA=．

∴可设BC=3k，AB=5k．由勾股定理，得AC=4k．

根据三角函数概念，得cosA=，tanA=．

（2）∠C=90°，cosA=．∴可设AC=k，AB=5k．

由勾股定理，得BC=k．根据三角函数概念，得sinA=，tanA=．

（3）∠C=90°，tanA=．∴可设BC=k，AC=2k．

由勾股定理，得AB=k．根据三角函数概念，得sinA=，cosA=．

（4）sin（90°—A）=cosA=.

（五）三角函数在平面直角坐标系中的应用

例6.如图，角的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，另一边经过点P（2，2），求角的三个三角函数值．

解析：

P（2，2），OP=4，sin=，cos=，tan=。

前思后想：

在平面直角坐标系中，求直线与x轴夹角的三角函数值，过直线上的点作x轴的垂线段，与x轴和直线一起构成直角三角形，根据该点的横坐标和纵坐标可以求出该三角形的三边长度，从而求出三角函数值。

牛刀小试：

1.点关于y轴对称的点的坐标是

2.已知锐角的终边经过点P（x，2），点P到坐标原点的距离r＝,则sin=，cos＝.

3.（此题为补充题，用到一元二次方程的根与系数关系）如图，点A（t