浙江高考一轮 第9章 第5节 古典概型.docx

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浙江高考一轮第9章第5节古典概型

第五节　古典概型

1．基本事件的特点

（1）任何两个基本事件是互斥的．

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．

（2）每个基本事件出现的可能性相等．

3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是

；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P（A）＝

.

4．古典概型的概率公式

P（A）＝

.

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．（　　）

（2）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．（　　）

（3）从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．（　　）

（4）利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×

2．（教材改编）下列试验中，是古典概型的个数为（　　）

①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；

②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；

③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；

④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．

A．0B．1　　　　

C．2　　　　D．3

B　[由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]

3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　）【导学号：

51062346】

A.

B.

C.

D.

C　[∵Ω＝{（M,1），（M,2），（M,3），（M,4），（M,5），（I,1），（I,2），（I,3），（I,4），（I,5），（N,1），（N,2），（N,3），（N,4），（N,5）}，

∴事件总数有15种．

∵正确的开机密码只有1种，∴P＝

.]

4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

C　[从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：

（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5），其中勾股数只有（3,4,5），所以概率为

.故选C.]

5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．

　[由乘法计数原理，两人各选一种运动服有3×3＝9种方法，

其中同色的有3种情况．

所以所求事件的概率P＝

＝

.]

简单古典概型的概率

（1）（2017·舟山质检）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（　　）

A.

　　　　　　　　　B.

C.

D．1

（2）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为______．

（1）B　

（2）

　[

（1）从袋中任取2个球共有C

＝105种取法，其中恰好1个白球，1个红球共有C

C

＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为

＝

.

（2）由古典概型概率公式，得所求事件的概率为P＝

＝

.]

[规律方法]　1.计算古典概型事件的概率可分三步：

（1）计算基本事件总个数n；

（2）计算事件A所包含的基本事件的个数m；（3）代入公式求出概率P.

2．确定基本事件个数的方法：

（1）基本事件较少的古典概型，用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．

（2）利用计数原理、排列与组合的有关知识计算基本事件．

[变式训练1]　

（1）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

（2）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．

（1）C　

（2）

　[

（1）设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．

所以所求事件的概率P＝1－

＝

.

（2）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,1），（2,2），…，（6,6），共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件

＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，

包含的可能结果有（4,6），（5,5），（5,6），（6,4），（6,5），（6,6），共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P（

）＝

＝

，所以P（A）＝1－

＝

.]

古典概型的概率公式的应用

　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.【导学号：

51062347】

[解]　

（1）由题意，参加集训的男、女生各有6名．

参赛学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为

＝

.3分

因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－

＝

.6分

（2）设参赛的4人中女生有ξ人，ξ＝1,2,3.

则P（ξ＝2）＝

＝

，P（ξ＝3）＝

＝

.10分

由互斥事件的概率加法公式可知，

P（ξ≥2）＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＝

＋

＝

，

故所求事件的概率为

.15分

[规律方法]　1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．

2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．

[变式训练2]　某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图951所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

图951

①若xy≤3，则奖励玩具一个；

②若xy≥8，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．

（1）求小亮获得玩具的概率；

（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

[解]　用数对（x，y）表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{（x，y）|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．

因为S中元素的个数是4×4＝16，

所以基本事件总数n＝16.3分

（1）记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（3,1）．

所以P（A）＝

，即小亮获得玩具的概率为

.6分

（2）记“xy≥8”为事件B，“3

则事件B包含的基本事件数共6个，即（2,4），（3,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），所以P（B）＝

＝

.9分

事件C包含的基本事件数共5个，

即（1,4），（2,2），（2,3），（3,2），（4,1）.12分

所以P（C）＝

.因为

>

，

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.15分

复杂的古典概型

　在一次大型运动会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号（x，y）表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x，y，且x

[解]　总的基本事件有C

＝36（个），记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A，即事件A为“x，y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且11≤x＋y<17，其中x

（2,9），（3,8），（3,9），（4,7），（4,8），（4,9），（5,6），（5,7），（5,8），（5,9），（6,7），（6,8），（6,9），（7,8），（7,9），共15个．“都是男记者”记作事件B，则事件B为“x

（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共10个.13分

故P（A）＋P（B）＝

＋

＝

.15分

[规律方法]　1.本题属于求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．

2．在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时，要保证计数的一致性，就是在计算基本事件数时，都按排列数求，或都按组合数求．

[变式训练3]　将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：

（1）两数中至少有一个为奇数的概率；

（2）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率.【导学号：

51062348】

[解]　一颗骰子先后抛掷2次，有6×6＝36个基本事件.2分

（1）记“两数中至少有一个为奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为

.又

发生时，有m＝C

×C

＝9个基本事件.4分

∴P（

）＝

＝

＝

，

则P（B）＝1－P（

）＝

.

因此，两数中至少有一个奇数的概率为

.6分

（2）点（x，y）在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则

表示“点（x，y）在圆x2＋y2＝15上或圆的外部”.8分

又事件C包含基本事件为（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），共有8个.10分

∴P（C）＝

＝

，从而P（

）＝1－P（C）＝1－

＝

.

∴点（x，y）在圆x2＋y2＝15上或圆外部的概率为

.15分

[思想与方法]

1．古典概型计算三步曲

第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．

2．确