高考数学空间几何体的外接球与内切球 版跳出题海之高中数学必做黄金100题解析版文档格式.docx
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【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即，
所以，这个球的表面积为.
故选：
C．
【命题意图】本类题主要考查空间几何体结构特征、的表面积与体积的计算，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、方程思想的应用．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，不会渗透于解答时中，难度中等或中等偏上．
【学科素养】数学运算、直观想象
【难点中心】求组合体的表面积与体积，主要两类难点：
（1）不能作出或想象两个几何体间的组合方式与结构特征；
（2）不能正确建立两个几何量间的关系．
三．理论基础·
解题原理
考点一棱体的表面积
计算棱体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解．n棱柱的展开图由两个全等的边形与个平行四边形组成；
棱锥的展开图由一个边形与个共顶点三角形组成；
棱台的展开图由两个相似的边形与个梯形组成．这些平面图形的面积即为相应的棱柱、棱锥、棱台的表面积．特别地，棱长为的正方体的表面积，长、宽、高分别为的长方体的表面积．
考点二圆体的表面积
圆体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，其侧面积可以利用侧面展开图得到．其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；
圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；
圆台的侧面展开图为扇环，其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”为圆台的母线长．
考点三 柱体的体积
柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积和高确定，即．特别地，底面半径是，高是的圆柱的体积是．根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的．
考点四锥体的体积
锥体（棱锥、圆锥）的体积等于它的底面积是和高的积，即．特别地，底面半径是，高是的圆锥的体积是．
考点五 球的体积与表面积
根据球的表面积公式与体积公式，知球的表面积和体积只须求一个条件，那就是球的半径R．关于两个球的体积比与表面积比之间的转换可转化为球的半径立方比与平方比．
四．题型攻略·
深度挖掘
【考试方向】这在高考中常常以单独考查的方式出现在选择题与填空题中，在解答题中通常不会出现．
考向1球与棱柱的组合体
已知体积为的长方体的八个顶点都在球的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为、,那么球的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设这两个面的边长分别为,则不妨设,则,则该长方体的外接球的直径,故球的体积为，故选A．
【温馨提醒】长方体（或正方体）外接球的组合问题，主要抓住的几何特征是：
长方体（或正方体）的体对角线等于球体的直径．
考向2球与棱锥的组合体
已知三棱锥的外接球为球，球的直径
，且都是等边三角形，则三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
【解析】取外接圆圆心，连接的中点即球心与，由球的性质可知与平面垂直，．在中，，故．又，故到平面的距离，因此，故选A．
【温馨提醒】球内接三棱锥的组合体问题，情况较多，须根据具体题型进行具体分析，如本题条件中已知很明确知道，球的直径为三棱锥的一条棱．
考向3球与圆柱的组合体
如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（）
A．，1 B．，1 C．， D．，
【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，
∴，，
，．
【温馨提醒】球外切于圆柱的组合体问题，解答时注意到球的直径为圆柱的高、底面直径相等．
考向4球与圆锥的组合体
底面半径为，母线长为的圆锥的外接球的表面积为（ ）
【答案】D
【解析】由圆锥的底面半径为，母线长为，可求得其轴截面的顶角为．设该圆锥的底面加以为，其半径为，球的半径为，则，，解得，所以球的表面积为，故选D．
【技能方法】球内接圆锥的组合问题，解答时抓住圆锥底面圆心与球心连线段、底面半径、球的半径间的勾股关系求解．
考向5 球与球的组合体
半径为1的三个球平放在平面上，且两两相切，其上放置一半径为2的球，由四个球心构成一个新四面体，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知条件可知，该四面体是底面边长为的等边三角形，且侧棱长为.该四面体外接球半径计算公式为，其中为底面外接圆半径，为高.本题中，故．
【技能方法】解答多面相切问题主要从两个方面入手：
（1）抓住各球球心构成的几何体的形状；
（2）利用球相切的条件：
圆心距等于半径之和．
五．限时训练*提升素养
1.（2020·
江苏镇江）直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，则该球的表面积为（）
A．B．C．D．
【详解】
解：
如图所示，直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，
可将直三棱柱补成长方体，其中，
，长方体的对角线
，即为球的直径，则球的半径为.
球的表面积为.
故选:
A.
2.（2020·
浙江）在四面体中，底面，，，且，，若该四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（）
在四面体中，底面，，，且，，
将四面体补成长方体，
则长方体的体对角线长为球的直径，则，
因此，球的表面积为.
D.
3.（2020·
江西）四面体中，底面，，，则四面体的外接球表面积为（）
【答案】B
如图，在四面体中，底面，，，
可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，
则长方体的对角线长为，
则三棱锥的外接球的半径为1．
其表面积为．
B．
4.（2020·
江西）在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（）
如图所示，，取BC中点M，连接AM并延长到N使AM=MN，则四边形ABNC是两个等边三角形组成的菱形，AN=BN=CN，点N是的外接圆圆心，过N作平面ABC的垂线NG，则球心一定在垂线NG上，因为平面，则PA//NG，PA与NG共面，在面内作PA的中垂线，交NG于O，则O是外接球球心，半径R=OA，中，，，故，故外接球的表面积.
5.（2020·
浙江）四面体中，，且异面直线与所成的角为.若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为（）
构建直三棱柱，设分别为的外心，连接，
取其中点，则为直三棱柱的外接球的球心，也为四面体的外接球的球心，
因为异面直线与所成的角为，所以.
设三棱柱底面的外接圆半径为，则，
，再由余弦定理，，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
故四面体的体积的最大值为.
A.
6.（2020·
全国高三）已知点在半径为2的球面上，满足，，若S是球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为（）
设外接圆圆心为，三棱锥外接球的球心为，，
设为中点，连，如图，
则，且在上，，
设外接圆半径为，
，解得，
要使体积的最大，需到平面距离最大，
即为的延长线与球面的交点，最大值为，
所以三棱锥体积的最大值为．
A
7.（2020·
全国）若侧面积为的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为（）
由题意，设圆柱的底面圆的半径为，高为，则球的半径.
因为球体积，故最小当且仅当最小．
圆柱的侧面积为，所以，所以，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即时取等号，此时取最小值，所以，，
圆柱的表面积为．
C.
8.（2020·
陕西）设P､A､B､C､D是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为（）
A．B．18C．20D．
设球的半径为r，则，即.
设球心到四棱锥的底面距离为x，则正方形的对角线长为，则正方形的边长为，
则四棱锥的底面积为，
当棱锥的高为时，四棱锥的体积最大，
则四棱锥的体积，
，
由得，由得，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值为.
9.（2020·
云南）已知正三棱柱外接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为______.
【答案】
设外接球的球心为O，正三棱柱的底面边长为，高为,
由于球心在底面的射影为底面的中心，则，
正三棱柱的侧面积为，
则当，即时，侧面积最大为，
底面边长为.
故答案为：
.
10.（2020·
全国）《九章算术》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图）．现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法．显然，正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球．因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆．结合祖暅原理，两个同高的立方体如在等高处的截面面积相等，则体积相等．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为______．
正方体的棱长，则其内切球的半径，内切球的体积．
由于截面正方形与其内切圆的面积之比为，设牟合方盖的体积为，则，从而牟合方盖的体积．
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