高中数学苏教版选修22教学案第2章 21 213 推理案例赏析Word格式文档下载.docx
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通过归纳推理，写出一般性结论_____________________________________________
__________________________________________________________（用含n的式子表示）．
解析：
第n行右边第一个数是[]，往后是[]，[]，…，最后一个是[]．等号右边是n（2n＋1）．
答案：
[]＋[]＋[]＋…＋[]＝n（2n＋1）
2．
（1）如图（a）、（b）、（c）、（d）所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？
多少条边？
它们将平面围成了多少个区域？
顶点数
边数
区域数
（a）
（b）
（c）
（d）
（2）观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
（3）现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？
解：
（1）各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为
3
2
8
12
6
9
5
10
15
7
（2）观察：
3＋2－3＝2；
8＋6－12＝2；
6＋5－9＝2；
10＋7－15＝2，
通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.
（3）由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1996，故这个平面图形有1996条边．
类比推理的应用
[例2] 通过计算可得下列等式：
23－13＝3×
12＋3×
1＋1；
33－23＝3×
22＋3×
2＋1；
43－33＝3×
32＋3×
3＋1；
（n＋1）3－n3＝3×
n2＋3×
n＋1.
将以上各等式两边分别相加，得
（n＋1）3－13＝3（12＋22＋…＋n2）＋3（1＋2＋3＋…＋n）＋n，
即12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）．
类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．
[思路点拨] 类比上面的求法；
可分别求出24－14，34－24,44－34，…（n＋1）4－n4，然后将各式相加求解．
[精解详析] ∵24－14＝4×
13＋6×
12＋4×
1＋1，
34－24＝4×
23＋6×
22＋4×
2＋1，
44－34＝4×
33＋6×
32＋4×
3＋1，
（n＋1）4－n4＝4×
n3＋6×
n2＋4×
将以上各式两边分别相加，
得（n＋1）4－14＝4×
（13＋23＋…＋n3）＋6×
（12＋22＋…＋n2）＋4×
（1＋2＋…＋n）＋n
∴13＋23＋…＋n3＝·
＝n2（n＋1）2.
[一点通]
（1）解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．
（2）类比推理的步骤与方法
第一步：
弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的（细微）差别．
第二步：
把两个系统之间的某一种一致性（相似性）确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．
3．二维空间中圆的一维侧度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr2，观察发现S′＝l；
三维空间中球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积）V＝πr3，观察发现V′＝S.则四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.
（2πr4）′＝8πr3.
2πr4
4．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：
c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面的面积，S4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是________．
由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为：
S＝S＋S＋S.
S＝S＋S＋S
演绎推理的应用
[例3] 已知{an}为等差数列，首项a1>
1，公差d>
0，n>
1且n∈N*.
求证：
lgan＋1lgan－1<
（lgan）2.
[思路点拨] 对数之积不能直接运算，可由基本不等式转化为对数之和进行运算．
[精解详析] ∵{an}为等差数列，
∴an＋1＋an－1＝2an.
∵d>
0，
∴an－1an＋1＝（an－d）（an＋d）＝a－d2<
a.
∵a1>
1，d>
0，∴an＝a1＋（n－1）d>
1.
∴lgan>
0.
∴lgan＋1·
lgan－1≤2
＝2<
2＝（lgan）2，
即lgan＋1·
lgan－1<
[一点通] 三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：
若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
5．如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
（1）证明：
平面AB1C⊥平面A1BC1；
（2）设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．
要求：
写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．
（1）因为菱形的对角线互相垂直（大前提），侧面BCC1B1是菱形（小前提），
所以B1C⊥BC1（结论）．
又线面垂直的判定定理（大前提），
B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B（小前提），
所以B1C⊥平面A1BC1（结论）．
又面面垂直的判定定理（大前提），
B1C⊂平面AB1C，B1C⊥平面A1BC（小前提），
所以平面AB1C⊥平面A1BC1（结论）．
（2）设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．
根据线面平行的性质定理（大前提），因为A1B∥平面B1CD（小前提），所以A1B∥DE（结论）．
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1∶1.
6．求证：
函数y＝是奇函数，且在定义域上是增函数．
证明：
y＝f（x）＝＝1－，
所以f（x）的定义域为x∈R.
f（－x）＋f（x）＝＋
＝2－
＝2－2＝0，
即f（－x）＝－f（x），所以f（x）是奇函数．
任取x1，x2∈R，且x1<
x2，
则f（x1）－f（x2）＝－
＝2
＝2·
.
因为x1<
x2，所以2x1<
2x2，2x1－2x2<
所以f（x1）<
f（x2）．故f（x）为增函数．
1．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；
证明一个数学结论之前，合情推理常为我们提供证明的思路和方向．
2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论，再想办法去证明或否定发现的结论．
一、填空题
1．设k棱柱有f（k）个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f（k＋1）＝f（k）＋________.
k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k－2条侧棱可构成k－2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．
所以f（k＋1）＝f（k）＋k－2＋1＝f（k）＋k－1.
k－1
2．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____条．这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）＝______；
f（n）＝______.（答案用数字或含n的式子表示）
所有顶点确定的直线共有：
棱数＋底边数＋对角线数，即n＋n＋＝.
f（4）＝4×
2＋×
2＝12，
f（n）＝n（n－2）＋×
（n－2）＝.
12
3．（陕西高考）已知f（x）＝，x≥0，若f1（x）＝f（x），fn＋1（x）＝f（fn（x）），n∈N*,则f2014（x）的表达式为________．
由f1（x）＝⇒f2（x）＝f＝＝；
又可得f3（x）＝f（f2（x））＝＝，故可猜想f2014（x）＝.
4．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
23＝ 33＝ 43＝ ….
仿此，若m3的“分裂数”中有一个是2015，则m＝________.
根据分裂特点，设最小数为a1，
则ma1＋×
2＝m3，
∴a1＝m2－m＋1.
∵a1为奇数，又452＝2025，
∴猜想m＝45.
验证453＝91125＝.
45
5．观察以下等式
sin230°
＋cos290°
＋sin30°
·
cos90°
＝；
sin225°
＋cos285°
＋sin25°
cos85°
sin210°
＋cos270°
＋sin10°
cos70°
＝.
推测出反映一般规律的等式：
____________________.
∵90°
－30°
＝60°
，85°
－25°
，70°
－10°
，
∴其一般规律为sin2α＋cos2（60°
＋α）＋sinαcos（60°
＋α）＝.
sin2α＋cos2（60°
＋α）＝
二、解答题
6．试将下列演绎推理写成三段论的形式：
（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
（2）所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；
（3）一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；
（4）等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q（p，q是常数），数列1,2,3…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．
（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，（大前提）
海王星是太阳系中的大行星，（小前提）
海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．（结论）
（2）所有导体通电时发热，（大前提）
铁是导体，（小前提）
铁通电时发热．（结论）
（3）一次
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