对教师教学用书上一道路径最短应用题的研究Word文档下载推荐.docx

对教师教学用书上一道路径最短应用题的研究Word文档下载推荐.docx

《对教师教学用书上一道路径最短应用题的研究Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《对教师教学用书上一道路径最短应用题的研究Word文档下载推荐.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

若∠AOB等于，从C点沿直线走到O处，再直线返回C处.

分析 

笔者认为，此题不需分类，因为题目已给出图形，显然∠AOB是锐角，答案应是唯一的。

若非要分类，显然参考答案遗漏了∠AOB为钝角的情形，也正是参考答案这个分类的提醒，促使笔者曾经对∠AOB为钝角的情形进行了研究，可是未果，后来一直搁浅。

一个偶然的机会，笔者看到《中小学数学》2009年第3期宛平生老师对这个问题的研究成果，使笔者眼前一亮，宛老师方法很新颖，但是笔者细细品味他的证明方法，觉得有不足之处（就图4而言，宛老师的方法需要延长与线段EF相交，但是图4显示的延长线与线段EF有不相交的情况）。

下面，笔者将自己的研究结果展示给读者。

一、当∠AOB为锐角时（如图2）

作法：

①分别作点C关于AO、BO的对称点、.

②连接，交AO、BO分别于点E、F.

③连接CE、CF.

根据轴对称的性质可知，.

∴.

可见线段的长度即为路线C→E→F→C的总长.

如果分别在OA、OB再任取一点、（图略），也可转化为，即为两点间的折线段的长。

根据“两点之间，线段最短”知，线段最短。

∴C→E→F→C即为所求最短的路线，即路线CE+EF+CF最短

二、当∠AOB为直角时（如图3）

②连接，交AO、BO于点O处.

下面，我们有必要证明一下，当时，必过O点.

证明：

由轴对称的性质可知∠1=∠2，∠3=∠4

∴

∴三点在一条直线上，即当时，必过O点.

我们还可以这样理解，图2中的E、O、F三点此时在图3中重合于点O处。

∴当时，从点C沿直线走到O处，再直线返回C处，即从C→O→C即为所求最短的路线.

三、当∠AOB为钝角时（如图4、图6、图7）

如图4，当时，分别作C点关于AO、BO的对称点、.连接，显然与钝角的两边没有交点，可见利用上述两种情形的作图方法在为钝角时不再适用。

看来，直接作图受到了阻隔，那么笔者不妨大胆的猜测一下，当时，其行走路线仍然是C→O→C最短.当然这个猜测结果并不是凭空想象的，而是在前面两种情形的基础上得出的，同时这也符合我们研究数学问题的思想。

研究数学问题，需要大胆猜想，更需要小心验证。

经笔者研究，需要分三种情况证明（在图4、图6、图7中，先连接OC）：

（一）当（或）时

证明 

如图4，以为例，在OA、OB边上分别任取一点E、F（且都不与O重合），前面我们已分别作C点关于OA、OB的对称点、，连接、、.

由轴对称的性质可知,,，.

当时，即

在中，. 

又∵点E是OA边上任意一点.

∴当三点在一条直线上时，有

又∵,

∴

下面，笔者欲证，为了使图4简洁，我们先把这个问题暂放，先来看一看另一个问题：

如图5，P是ΔABC内任意一点，求证：

AB+AC＞PB+PC

延长BP交AC于点E

在ΔABE中，AB+AE＞BE，即AB+AE＞PB+PE

在ΔPEC中，PE+EC＞PC 

∴AB+AE+PE+EC＞PB+PE+PC

即AB+AC＞PB+PC

现在，我们再把视线转移到图4上，把O看作内的任意一点（注：

也正是当时，即，才把O点控制在内），所以同理有

又∵，

（二）当（或）时

如图6，以为例，在OA、OB边上分别任取一点E、F（且都不与O重合），分别作C点关于OA、OB的对称点、，连接、、.

由轴对称的性质可知，，，

∴三点在一条直线上，此时O点在的边上

在中，，即.

又∵，

又∵在中，

又∵

∴.

∴当时，从C→O→C即为所求最短的路线.

（三）当（或）时

如图7，以为例，在OA、OB边上分别任取一点E、F（且都不与O重合），分别作了C点关于OA、OB的对称点、，连接、、.

当时，即.

∴此时O点在外，但O在内.

在中，把O看作内的任意一点，利用图5对应题目的结论，同理有

另外，当E、F其中任意一点与O重合，上述结论更容易证明。

请读者验证.

【变式应用】请读者试一试

1.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．

2.探究：

如图，公路OA、OB呈交叉形状，小镇P处有一个邮局；

每天邮递员要到公路OA、OB上取信，

邮箱设在公路旁何处时，邮递员来回一趟所行的路程最短？

为什么？

3.如图：

Ａ为马厩，Ｂ为帐篷牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，

再到河边饮马，然后回到帐篷．请你帮他确定这一天的最短路线．

4.在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．

　　参考文献:

《中小学数学》2009年第3期《不应这样分类》

　　引文：

　　个人简介：

男，39岁，中学一级教师，任教初中数学多年，有一定的教学经验。