对教师教学用书上一道路径最短应用题的研究Word文档下载推荐.docx

1、若AOB等于，从C点沿直线走到O处，再直线返回C处.分析 笔者认为，此题不需分类，因为题目已给出图形，显然AOB是锐角，答案应是唯一的。若非要分类，显然参考答案遗漏了AOB为钝角的情形，也正是参考答案这个分类的提醒，促使笔者曾经对AOB为钝角的情形进行了研究，可是未果，后来一直搁浅。一个偶然的机会，笔者看到中小学数学2009年第3期宛平生老师对这个问题的研究成果，使笔者眼前一亮，宛老师方法很新颖，但是笔者细细品味他的证明方法，觉得有不足之处（就图4而言，宛老师的方法需要延长与线段EF相交，但是图4显示的延长线与线段EF有不相交的情况）。下面，笔者将自己的研究结果展示给读者。一、当AOB为锐角时

2、（如图2）作法：分别作点C关于AO、BO的对称点、.连接，交AO、BO分别于点E、F.连接CE、CF.根据轴对称的性质可知，. .可见线段的长度即为路线CEFC的总长.如果分别在OA、OB再任取一点、（图略），也可转化为，即为两点间的折线段的长。根据“两点之间，线段最短”知，线段最短。 CEFC即为所求最短的路线，即路线CE+EF+CF最短二、当AOB为直角时（如图3）连接，交AO、BO于点O处.下面，我们有必要证明一下，当时，必过O点.证明：由轴对称的性质可知1=2，3=4 三点在一条直线上，即当时，必过O点.我们还可以这样理解，图2中的E、O、F三点此时在图3中重合于点O处。 当时，从点C

3、沿直线走到O处，再直线返回C处，即从COC即为所求最短的路线.三、当AOB为钝角时（如图4、图6、图7）如图4，当时，分别作C点关于AO、BO的对称点、.连接，显然与钝角的两边没有交点，可见利用上述两种情形的作图方法在为钝角时不再适用。看来，直接作图受到了阻隔，那么笔者不妨大胆的猜测一下，当时，其行走路线仍然是COC最短. 当然这个猜测结果并不是凭空想象的，而是在前面两种情形的基础上得出的，同时这也符合我们研究数学问题的思想。研究数学问题，需要大胆猜想，更需要小心验证。经笔者研究，需要分三种情况证明（在图4、图6、图7中，先连接OC）：（一）当（或）时证明 如图4，以为例，在OA、OB边上分别

4、任取一点E、F（且都不与O重合），前面我们已分别作C点关于OA、OB的对称点、，连接、.由轴对称的性质可知,，.当时，即在中，. 又点E是OA边上任意一点.当三点在一条直线上时，有又,下面，笔者欲证，为了使图4简洁，我们先把这个问题暂放，先来看一看另一个问题：如图5，P是ABC内任意一点，求证：AB+ACPB+PC延长BP交AC于点E在ABE中，AB+AEBE ，即 AB+AEPB+PE 在PEC中，PE+ECPC AB+AE+PE+EC PB+PE+PC即AB+ACPB+PC现在，我们再把视线转移到图4上，把O看作内的任意一点（注：也正是当时，即，才把O点控制在内），所以同理有又 ，（二）当

5、（或）时 如图6，以为例，在OA、OB边上分别任取一点E、F（且都不与O重合），分别作C点关于OA、OB的对称点、，连接、.由轴对称的性质可知，三点在一条直线上，此时O点在的边上在中，即.又，又在中，又. 当时，从COC即为所求最短的路线.（三）当（或）时 如图7，以为例，在OA、OB边上分别任取一点E、F（且都不与O重合），分别作了C点关于OA、OB的对称点、，连接、.当时，即.此时O点在外，但O在内.在中，把O看作内的任意一点，利用图5对应题目的结论，同理有另外，当E、F其中任意一点与O重合，上述结论更容易证明。请读者验证.【变式应用】请读者试一试1.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线2.探究：如图，公路OA、OB呈交叉形状，小镇P处有一个邮局；每天邮递员要到公路OA、OB上取信，邮箱设在公路旁何处时，邮递员来回一趟所行的路程最短？为什么？3.如图：为马厩，为帐篷牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷请你帮他确定这一天的最短路线4.在锐角AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使PCD的周长最短参考文献: 中小学数学2009年第3期不应这样分类引文：个人简介：男，39岁，中学一级教师，任教初中数学多年，有一定的教学经验。