4 离散数学习题解答习题六第六章图论6Word文件下载.docx

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ϕ（v3）=v3′ϕ（v3，v4）=（v3′，v4′）

ϕ（v4）=v4′ϕ（v4，v5）=（v4′，v5′）

ϕ（v5）=v5′ϕ（v5，v6）=（v5′，v6′）

ϕ（v6）=v6′ϕ（v6，v1）=（v6′，v1′）

ϕ（v1，v4）=（v1′，v4′）

ϕ（v2，v5）=（v2′，v5′）

ϕ（v3，v6）=（v3′，v6′）

显然使下式成立：

ψ（vi，vj）=（vi,vj′）⇒ϕ（vi）=vi′∧ϕ（vj）=vj′

（1≤i·

j≤6）

于是图G与图G′同构。

4．证明〔a〕，〔b〕中的两个图都是不同构的。

图G中有一个长度为4的圈v1v2v6v5v1，其各顶点的度均为3点，而在图G′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v1'

，v5'

，v7'

，v3'

不成长度的4的圈。

图G′中有四个二度结点，v6'

，v8'

，v4'

，它们每个都和两个三度结点相邻，而G中一个区样的结点都没有。

在〔b〕中，图G'

中有一2度结点v3'

，它相邻的两个项点v2'

的度均为4，而在图G中却没有这样的点。

5．一个图假设同构于它的补图，那么称此图为自补图。

在满足以下条件的无向简单图中：

1）给出一个五个结点的自补图；

2）有三个或一结点的自补图吗？

为什么？

3〕证明：

假设一个图为自补图，那么它对应的完全图的边数不清必然为偶数。

[解]1）五个结点的自补图如左图G所示

同构函数ϕ:

V→V及ψ:

E→如下：

ϕ（a）=aψ（a，b）=（a，c）

ϕ（b）=cψ（b，c）=（c，e）

ϕ（c）=eψ（c，d）=（e，d）

ϕ（d）=bψ（d，e）=（b，d）

ϕ（e）=d（e，a）=（d，a）

2）〔a〕没有三个结点的自补图。

因为三个结点的完备图的边数为=3为奇数，所以由下面3）的结论，不可能有自补图。

〔b〕有五个结点的自补图。

1〕中的例子即是一个五个结点的自补图。

3〕证：

一个图是一个自补图，那么它对应的完全图的边数必为偶数。

因为假设一个图G是自补图，那么G∪=对应的完全图，而且E∩=φ，G现同构，因此它们的边数相等，即|E|=||，因此对应的完全图的边数|E*|=|E|+||=2|E|，是偶数。

实际上，n个项点〔n＞3〕的自补图G，由于其对应的完全图的边数|E*|=，因此有=2|E|，为偶数。

这里n≥4。

对于所有大于或等于4的正整数，都可表达成n=4k，4k+1，4k+2，4k+3的形式，这里k=1，2，…。

其中只有n=4k，4k+1，才能使为偶数，所以自补图的项点数只能是4k或4k+1形式，〔k∈N〕

6．证明在任何两个或两个以上人的组内，总存在两个人在组内有相同个数的朋友。

[证]令上述组内的人的集合为图G的项点集V，假设两人互相是朋友，那么其间联以一边。

所得之图G是组内人员的朋友关系图。

显然图G是简单图，图中项点的度恰表示该人在组内朋友的个数，利用图G，上述问题就抽象成如下的图认论问题：

在简单图G中，假设|V|≥2，那么在G中恒存在着两个项点，v1，v2∈V，使得它们的度相等，即deg（v1）=deg（v2）。

其证明如下：

假设存在着一个项点v∈V，使得deg（v）=0，那么图G中各项点的度最大不超过n-2。

因此n个项点的度在集合{0，1，2，…，n-2}里取值，而这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两个项点的度相同。

假设不存在一个度为零的项点，那么图G中各项点的度最大不超过n-1。

因此n个项点的度在集合{1，2，…，n-1}中取值，这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两具项点的度相同。

7．设图G的图示如右所示：

1）找出从A到F的所有初级路；

2〕找出从A到F的所有简单路；

3〕求由A到F的距离。

[解]1〕从A到F的初级路有7条

P1:

（A，B，C，F），P2（A，B，C，E，F），P3:

（A，B，E，F）

P4:

（A，B，E，C，F），P5:

（A，D，C，E，F），P6:

（A，D，E，C，F）

P7:

（A，D，E，B，C，F）。

2〕从A到F的简单路有9条

除了上述1〕中7条外，不有P8:

（A，D，E，C，B，E，F）

P9:

（A，D，E，B，C，E，F）。

3〕从A到F的距离为3。

由图可看出，显然从A到F，一步不可能到达，二步也不可到达；

但有长度为3的路，比方P1，P3，P5等能从A到F，故从A到F的距离为3。

8．在下面的图中，哪此是边通图？

哪些是简单图？

〔a〕（b）（c）

[解]〔1〕图〔2〕与图〔b〕不连通，它们能分成两个边通支。

所以只有图〔c〕是连能图。

〔2〕图〔c〕是简单图，图为它显然无平等边，无自环。

图〔a〕、〔b〕是多重图〔a〕有平行边〔b〕有自环。

9．求出所有具有四个结点的简单无向连通图。

[解]在不同构的意义下，具有四个结点的简单无向连通图共有6个。

如下面所示：

〔实际上，具有四个结点的简单图共有11个，这可由P定理得证。

参见卢开澄的?

组合数学一算法与分析?

上册P241-P244〕。

10．设G是一个简单无向图，且为〔n，m〕图，假设

证明G是连通图。

[证]用反证法。

假假设简单无向图G不是连通图，那么G必可成K〔≥2〕个连通分支G1，G2，…，Gk，每个连通分支Gi〔1≤i≤k〕都是一个简单无向图，因此它们分别为〔n1，m1〕，〔n2，m2〕，…〔nk，mk〕图显然有n=n1+n2+…nk，m=m1+m2+…mk，且ni≤n-1〔1≤i≤k〕于是有

m=m1+m2+…mk

=（n-1）·

·

（（n1-1）+（n2-1）+…+（nk-1））

=（n-1）（（n1+n2+…+nk）-k）

=（n-1）（n-k）

≤（n-1）（n-2）（k≥2）

这与M＞〔n-1〕（n-2）矛盾。

因此假设错误，G是连通图。

11．设G=〔V，E〕是无向完全图〔无自环〕，|V|=n

1）求G中有多少初级圈？

2）设e∈E，求含有e的初级圈有几个？

3）设u，v∈V，u≠v，求由u到v有几条初级路？

[解]1〕在一个有n个结点的无向完全图〔无自环〕中，构成一个初级圈，至少需3个结点，至多有n个结点，故G中初级圈的个数为

即将从n个结点中选出的k个结点进行排列，然后除去重复：

每个排列的倒排列〔除2〕；

长为k的圈排列可形成k个线排列〔除k〕。

2〕含有边e的初级圈为

即，从u到v的直接边〔完全图，该边存在〕是一条；

再将该直接边加到其它初级路里，就构成了含边〔u，v〕的初级圈，从而由2）可得如上数值。

12．试证在简单有向图中

1）每个结点及每条边都属于且只属于一个弱分图；

2）每个结点及每条边都至少属于一个单向分图。

[证]1〕有向图中的弱连通性建立了G中结点集合V上的等价关系，因此构成了V上的一个划分；

同时，还建立了边集上的一个划分。

因此，每一个弱连通支就是一个“划分块〞。

设G1，G2，…，Gk为G的所有弱连通分图，那么有：

V〔G〕=V〔G1〕∪V〔G2〕…∪V〔Gk〕

E〔G〕=E〔G1〕∪E〔G2〕…∪E〔Gk〕

并且，当i≠j时，V〔Gi〕∩V〔Gj〕=φ，E〔Gi〕∩E〔Gj〕=φ。

因此，每个结点及每条边都属于且只属于一个弱图。

2〕有向图中的单向连通性建立了G中结点集合V上的一个相容关系，因此构成了V上的一个覆盖；

同时，还建立了边集上的一个覆盖；

每一个单向分图就是一个“覆盖快〞。

设G1，G2…，Gk为G的所有单向分图，那么有

V〔G〕=V〔G1〕∪V〔G2〕∪…∪V〔Gk〕

E〔G〕=E〔G1〕∪E〔G2〕∪…∪E〔Gk〕

因此，每个结点及每条边都至少属于一个单向分图。

13．试用有向图描述出下述问题的解法路径：

某人m带一条狗d，一只猫c和一只兔子r过河，没有船，他每次游过河时只能带一只动物，当没有人管理时狗和兔子不能相处，猫和兔子也不能相处。

在这些条件的约束下，他怎样才能将这三只动物从北岸带往南岸？

[解]将人，狗，兔中任意几种在一起的情况看作是一种状态；

一个布局是一个二元组，由两个互补的状态构成，二元组的前者表示河北岸的状态，后者表示河南岸的状态。

初始布局为〔pdcr，φ〕，终止布局为〔φ，pdcr〕平安布局有十种，不平安布局有六种，它们是：

〔dr，pc〕，〔cr，pd〕，〔dcr，p〕，

〔pc，dr〕，〔pd，cr〕，〔p，dcr〕。

按题意构造有向图，其解法路径如下：

14．求以下图中的所有强连通支，单向连通支，弱连通支。

[解]1〕有六个强连通支，它们是：

G1=（{v1，v2，v3，v9，v10}，{（v1，v2），（v2，v9），（v9，v10），（v10，v1），（v2，v3），（v3，v9）}）

G2=（{v4}，φ），G3=（{v8}，φ），G4=（{v7}，φ），

G5=（{v5}，{（v5，v5）}），G6=（{v6}，φ）。

2〕有四个单向连通支，它们是：

G1=（{v1，v2，v3，v4，v9，v10}，{（v1，v2），（v2，v9），（v9，v10），（v10，v1），（v2，v3），（v3，v9），（v3，v4）}），

G2=（{v4，v7，v8}，{（v7，v8），（v8，v4）}），

G3=（{v5}，{v5，v5}），G4=（{v6}，φ）

3〕有三个弱连通支，它们是：

G1=（{v1，v2，v3，v4，v7，v8，v9，v10}，{（v1，v2），（v2，v9），（v9，v10），（v10，v1），（v2，v3），（v3，v9），（v3，v4），（v7，v8），（v8，v4）}）

G2=（{v5}，{（v5，v5）}），G3=（{v6，φ}）

15．给出有向图如下所示：

1）求它的邻接矩阵A；

2）求A2，A3，A4，指出从v1到v4长度为1，2，3，4的路径各有几条？

3）求AT，ATA，AAT，说明ATA和AAT中元素〔2，3〕和〔2，2〕的意义；

4）求A

（2），A〔3〕，A〔4〕及可过矩陈R；

5）求出强度通支。

[解]1〕它的邻接矩阵

从v1到v4长度为1的路有1条，是〔v1，v4〕；

从v1到v4长度为2的路有1条，是〔v1，v2〕，〔v2，v4〕；

从v1到v4长度为3的路有2条，是：

（v1，v2），（v2，v8），（v3，v4）；

（v1，v4），（v4，v2），（v2，v4）。

从v1到v4长度为4的路有3条，是：

（v1