131函数列与函数项级数一致收敛性解析汇报Word格式.docx
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重点是函数列一致收敛的概念、性质；
难点是一致收敛性的概念、判别及应用。
（三）教学建议：
（1）要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的尔斯特拉斯判别法．
（2）对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．
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一函数列及其一致收敛性
对定义在区间I上的函数列，设，若数列收敛，则称函数列在点收敛，称为函数列收敛点；
若数列发散，则称函数列在点发散。
使函数列收敛的全体收敛点集合称为函数列收敛域（注意定义域与收敛域的区别）。
若函数列在数集上每一点都收敛，则称函数列在数集D上收敛，这时D上每一点，都有函数列的一个极限值
与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列的极限函数。
逐点收敛（或称为“点态收敛”）的“”定义.
例1对定义在的等比函数列,用“”定义
验证其收敛域为,且
例2.用“”定义验证在.
函数列的一致收敛性：
设函数列在E上收敛于，若对任意的，存在自然数，当时，对E中一切都有
则称函数列在E上一致收敛于。
注意这里的N只与有关，与x无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。
一致收敛的几何意义
对任给的-带，总存在一个N，时，的图形全部落入这个-带。
一致收敛情况图示
对任意，n充分大时，将全部落入－带以。
收敛但不一致收敛的几何意义：
对任意，，但存在一个，对任意的N，都可找到一个，尽管，但总有一部分落在带以外。
例证明函数列在上收敛但不一致收敛
证明1）函数列在上收敛。
显然对任意的，
2）但不一致收敛于0
先看一看函数列的图象（图中给出的是n＝8，20，50的情况）
clf,x=0:
1/100:
1;
y1=8*x./（1+64*x.^2）;
y2=20*x./（1+400*x.^2）;
y3=50*x./（1+2500*x.^2）;
plot（x,y1,x,y2,x,y3,'
linewidth'
2）
holdon
plot（[-0.1,1],[0,0],'
b'
[0,0],[-0.1,0.6],'
）
axis（[-0.1,1.2,-0.1,0.6]）
legend（'
y1,n=8'
'
y2,n=20'
y3,n=50'
）
可以看出，对于，无论n再大，的图象总有一部分落在－带以外。
事实上存在，，
所以该函数列是不一致收敛的。
例函数列在上不一致收敛，但在上一致收敛。
先看看该函数列的图象
y1=x.^4;
y2=x.^10;
y3=x.^50;
plot（x,y1,x,y2,x,y3,'
2）
对于，不管n再大，的图象总有一部分落在－带以外。
事实上，我们容易看出
充分大时，所以该函数列在上不一致收敛。
再看看该函数列在上的图象
0.7;
y1=x.^13;
y2=x.^18;
y3=x.^20;
2）,holdon
plot（[0,0.7],[0,0],'
r'
[0,0],[-0.02,0.02],'
plot（[0,0.7],[0.005,0.005],'
m'
axis（[0,0.71,-0.01,0.02]）
对任意的，总存在N,当n>
N时，的图象将全部落入－带之。
事实上，，所以，该函数列在上是一致收敛。
函数项级数及其一致收敛性
定理13.1（一致收敛的Cauchy准则）函数列一致收敛的充分必要条件是：
对任意，存在某一自然数，当时，对一切，都有
证（利用式）
易见逐点收敛.设,……,有.
令,对D成立,即,
，D.
定理13.2函数列一致收敛的充分必要条件是：
推论设在数集D上,.若存在数列D,使
则函数列在数集D上非一致收敛.
应用此判断函数列在数集D上非一致收敛时,常作辅助函数
―取在为数集D上的最值点.
例7对定义在区间上的函数列
证明:
但在上不一致收敛.
证时,只要,就有.因此,在上有
.,.
于是,在上有.但由于,,
因此,该函数列在上不一致收敛.
例判别下面函数列在区间上的一致收敛性
1）2）
解1）
所以，函数列在区间上一致收敛。
2）
求极大点方法可求得
函数列在上不一致收敛。
例.证明在R,但不一致收敛.
证显然有,在点处取得极大值,.不一致收敛.
例6.证明在,.
证易见而
在成立.
……
二函数项级数及其一致收敛性
我们知道，有限个函数的和函数的性质是通过每个相加的函数的性质去认识的，有限个连续函数的和是连续的；
有限个可微函数的和是可微的，且和的导数等于每个函数的导数的和；
有限个可积函数的和是可积的，且和的积分等于每个函数积分的和。
现在要问：
是否可以从级数每一项所具有的连续性、可微性与可积性，而得出和函数的连续性、可微性与可积性呢？
一般来说，这是不行的！
例讨论的收敛域
由几何级数的敛散性,时收敛,时发散,所以的收敛域为
例讨论级数收敛域
所以级数收敛域为
一致收敛性概念
例函数项级数每一项在上都是连续的，而其部分和为，从而
在上却是不连续的。
clf,x=0:
n=2:
2:
8;
y1=x.^2;
y2=x.^4;
y3=x.^6;
y4=x.^100;
x,y4,'
那么在什么条件下，由级数每一项所具有的某种性质（如连续性、可积性、可微性），就可推出和函数也具有这种性质？
这需要一个重要的概念－一致收敛性。
函数级数一致收敛判别法:
定理13.3（柯西准则）函数级数在区间一致收敛
有
或
定理13.4函数项级数在上一致收敛于的充分必要条件是：
例讨论函数级数在区间上的一致收敛性
所以,函数级数在区间上一致收敛性
一般来说,柯西准则用起来不大方便,下面给出一个较简便的判别方法
定理13.5（Weierstrass判别法）设级数定义在区间D上,是收敛的正项级数.若当充分大时,对D有|,则在D上一致收敛.
证然后用Cauchy准则.
亦称此判别法为优级数判别法.称满足该定理条件的正项级数是级数的一个优级数.于是Th4可以叙述为:
若级数在区间D上存在优级数,则级数在区间D上一致收敛.应用时,常可试取.但应注意,级数在区间D上不存在优级数,级数在区间D上非一致收敛.
注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.
例证明在R上一致收敛.
因为收敛,由M判别法
在R上一致收敛.
凡是M判别法判别的必然是绝对收敛,一致收敛的,对于条件收敛级数,不能用M判别法判定.下面介绍两个条件收敛,一致收敛的判别法
定理13.6（阿贝尔判别法）若函数列在区间I单调一致有界,且函数级数在区间I一致收敛,则函数级数在区间I一致收敛.
注意两个定理的条件的区别.
定理13.7（狄里克雷判别法）若函数列在区间I单调递减一致收敛于0,且函数级数的部分和函数列在区间I一致有界,则函数级数在区间I一致收敛.
例10几何级数在区间上一致收敛；
但在非一致收敛.
证在区间上,有
.
一致收敛;
而在区间,取,有
.
非一致收敛.（亦可由通项在区间非一致收敛于零非一致收敛.）
几何级数虽然在区间非一致收敛,但在包含于的任何闭区间上却一致收敛.我们称这种情况为“闭一致收敛”.因此,我们说几何级数在区间闭一致收敛.
例12判断函数项级数和在R的一致收敛性.
例13设是区间上的单调函数.试证明:
若级数与都绝对收敛,则级数在区间上绝对并一致收敛.
留为作业..……
例14判断函数项级数在区间上的一致收敛性.
解记.则有1）级数收敛;
2）对每个,↗；
3）对
和成立.由Abel判别法,在区间上一致收敛.
例15设数列单调收敛于零.试证明:
级数在区间上一致收敛.
证在上有
.
可见级数的部分和函数列在区间上一致有界.取
.就有级数的部分和函数列在区间上一致有界,而函数列对每一个单调且一致收敛于零.由Dirichlet判别法,级数在区间上一致收敛.
其实,在数列单调收敛于零的条件下,级数在不包含的任何区间上都一致收敛.
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