高一数学平面解析几何初步检测考试题附答案Word下载.docx
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由A知:
因为l1∥l2,k1=k2>
0,m1>
m2>
0,即a=b>
0,b>
a>
0,矛盾.
由B知:
k1m2>
0,即aa>
由C知:
k1>
k2>
0,m2>
m1>
0,即a>
b>
0,可以成立.
由D知:
0>
m1,即a>
0,a>
b,矛盾.
3.已知点A(-1,1)和圆C:
(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是()
A.62-2B.8
C.46D.10
选B.点A关于x轴对称点A′(-1,-1),A′与圆心(5,7)的距离为5+12+7+12=10.∴所求最短路程为10-2=8.
4.圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的位置关系是()
A.相离B.相切
C.相交D.内含
选D.圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心距05.已知圆C:
(x-a)2+(y-2)2=4(a>
0)及直线l:
x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为23时,a的值等于()
A.2B.2-1
C.2-2D.2+1
选B.圆心(a,2)到直线l:
x-y+3=0的距离d=|a-2+3|2=|a+1|2,依题意|a+1|22+2322=4,解得a=2-1.
6.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是()
A.3x-2y-6=0
B.2x+3y+7=0
C.3x-2y-12=0
D.2x+3y+8=0
选D.∵所求直线平行于直线2x+3y-6=0,
∴设所求直线方程为2x+3y+c=0,
由|2-3+c|22+32=|2-3-6|22+32,
∴c=8,或c=-6(舍去),
∴所求直线方程为2x+3y+8=0.
7.若直线y-2=k(x-1)与圆x2+y2=1相切,则切线方程为()
A.y-2=34(1-x)
B.y-2=34(x-1)
C.x=1或y-2=34(1-x)
D.x=1或y-2=34(x-1)
选B.数形结合答案容易错选D,但要注意直线的表达式是点斜式,说明直线的斜率存在,它与直线过点(1,2)要有所区分.
8.圆x2+y2-2x=3与直线y=ax+1的公共点有()
A.0个B.1个
C.2个D.随a值变化而变化
选C.直线y=ax+1过定点(0,1),而该点一定在圆内部.
9.过P(5,4)作圆C:
x2+y2-2x-2y-3=0的切线,切点分别为A、B,四边形PACB的面积是()
A.5B.10
C.15D.20
选B.∵圆C的圆心为(1,1),半径为5.
∴|PC|=5-12+4-12=5,
∴|PA|=|PB|=52-52=25,
∴S=12×
25×
5×
2=10.
10.若直线mx+2ny-4=0(m、n∈R,n≠m)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则mn的取值范围是()
A.(0,1)B.(0,-1)
C.(-∞,1)D.(-∞,-1)
选C.圆x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9,直线mx+2ny-4=0始终平分圆周,即直线过圆心(2,1),所以2m+2n-4=0,即m+n=2,mn=m(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+1≤1,当m=1时等号成立,此时n=1,与“m≠n”矛盾,所以mn<1.
11.已知直线l:
y=x+m与曲线y=1-x2有两个公共点,则实数m的取值范围是()
A.(-2,2)B.(-1,1)
C.1,2)D.(-2,2)
选C.曲线y=1-x2表示单位圆的上半部分,画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象,可观察出仅当直线l在过点(-1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时,直线l与曲线有两个交点.
当直线l过点(-1,0)时,m=1;
当直线l为圆的上切线时,m=2(注:
m=-2,直线l为下切线).
12.过点P(-2,4)作圆O:
(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线m:
ax-3y=0与直线l平行,则直线l与m的距离为()
A.4B.2
C.85D.125
选A.∵点P在圆上,
∴切线l的斜率k=-1kOP=-11-42+2=43.
∴直线l的方程为y-4=43(x+2),
即4x-3y+20=0.
又直线m与l平行,
∴直线m的方程为4x-3y=0.
故两平行直线的距离为d=|0-20|42+-32=4.
二、填空题(本大题共4小题,请把答案填在题中横线上)
13.过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是________.
易求得AB的中点为(0,0),斜率为-1,从而其垂直平分线为直线y=x,根据圆的几何性质,这条直线应该过圆心,将它与直线x+y-2=0联立得到圆心O(1,1),半径r=|OA|=2.
答案:
(x-1)2+(y-1)2=4
14.过点P(-2,0)作直线l交圆x2+y2=1于A、B两点,则|PA|•|PB|=________.
过P作圆的切线PC,切点为C,在Rt△POC中,易求|PC|=3,由切割线定理,|PA|•|PB|=|PC|2=3.
3
15.若垂直于直线2x+y=0,且与圆x2+y2=5相切的切线方程为ax+2y+c=0,则ac的值为________.
已知直线斜率k1=-2,直线ax+2y+c=0的斜率为-a2.∵两直线垂直,∴(-2)•(-a2)=-1,得a=-1.圆心到切线的距离为5,即|c|5=5,∴c=±
5,故ac=±
5.
±
5
16.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点,则实数m的取值范围是__________.
将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为标准方程,
得(x-1)2+(y+2)2=1,圆心为(1,-2),半径为1.若直线与圆无公共点,即圆心到直线的距离大于半径,即d=|3×
1+4×
-2+m|32+42=|m-5|5>1,
∴m<0或m>10.
(-∞,0)∪(10,+∞)
三、解答题(本大题共6小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.三角形ABC的边AC,AB的高所在直线方程分别为2x-3y+1=0,x+y=0,顶点A(1,2),求BC边所在的直线方程.
解:
AC边上的高线2x-3y+1=0,
所以kAC=-32.
所以AC的方程为y-2=-32(x-1),
即3x+2y-7=0,
同理可求直线AB的方程为x-y+1=0.
下面求直线BC的方程,
由3x+2y-7=0,x+y=0,得顶点C(7,-7),
由x-y+1=0,2x-3y+1=0,得顶点B(-2,-1).
所以kBC=-23,直线BC:
y+1=-23(x+2),
即2x+3y+7=0.
18.一束光线l自A(-3,3)发出,射到x轴上,被x轴反射后与圆C:
x2+y2-4x-4y+7=0有公共点.
(1)求反射光线通过圆心C时,光线l所在直线的方程;
(2)求在x轴上,反射点M的横坐标的取值范围.
圆C的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1.
(1)圆心C关于x轴的对称点为C′(2,-2),过点A,C′的直线的方程x+y=0即为光线l所在直线的方程.
(2)A关于x轴的对称点为A′(-3,-3),
设过点A′的直线为y+3=k(x+3).
当该直线与圆C相切时,有|2k-2+3k-3|1+k2=1,解得k=43或k=34,
所以过点A′的圆C的两条切线分别为y+3=43(x+3),y+3=34(x+3).
令y=0,得x1=-34,x2=1,
所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是-34,1].
19.已知圆x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)此方程表示圆,求m的取值范围;
(2)若
(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值;
(3)在
(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.
(1)方程x2+y2-2x-4y+m=0,可化为
(x-1)2+(y-2)2=5-m,
∵此方程表示圆,
∴5-m>0,即m<5.
(2)x2+y2-2x-4y+m=0,x+2y-4=0,
消去x得(4-2y)2+y2-2×
(4-2y)-4y+m=0,
化简得5y2-16y+m+8=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则
y1+y2=165,①y1y2=m+85.②
由OM⊥ON得y1y2+x1x2=0
即y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0,
∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0.
将①②两式代入上式得
16-8×
165+5×
m+85=0,
解之得m=85.
(3)由m=85,代入5y2-16y+m+8=0,
化简整理得25y2-80y+48=0,解得y1=125,y2=45.
∴x1=4-2y1=-45,x2=4-2y2=125.
∴M-45,125,N125,45,
∴MN的中点C的坐标为45,85.
又|MN|=125+452+45-1252=855,
∴所求圆的半径为455.
∴所求圆的方程为x-452+y-852=165.
20.已知圆O:
x2+y2=1和定点A(2,1),由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ,切点为Q,|PQ|=|PA|成立,如图.
(1)求a、b间关系;
(2)求|PQ|的最小值;
(3)以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.
(1)连接OQ、OP,则△OQP为直角三角形,
又|PQ|=|PA|,
所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2
=1+|PA|2,
所以a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2,
故2a+b-3=0.
(2)由
(1)知,P在直线l:
2x+y-3=0上,
所以|PQ|min=|PA|min,为A到直线l的距离,
所以|PQ|min=|2×
2+1-3|22+12=255.
(或由|PQ|2=|OP|2-1=a2+b2-1=a2+9-12a+4a2-1=5a2-12a+8=5(a-1.2)2+0.8,得|PQ|min=255.)
(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点,半径最小时为与圆O相切的情形,而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径,圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P0,所以r=322+12-1=355-1,
又l′:
x-2y=0,
联立l:
2x+y-3=0得P0(65,35).
所以所求圆的方程为(x-65)2+(y-35)2=(355-1)2.
21.有一圆与直线l:
4x-3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求此圆的方程.
法一:
由题意可设所求的方程为(x-3)2+(y-6)2+λ(4x-3y+6)=0,又因为此圆过点(5,2