高一数学 函数奇偶性知识点归纳.docx

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高一数学函数奇偶性知识点归纳

函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析

函数的奇偶性定义：

1．偶函数：

一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．

2．奇函数：

一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．

二、函数的奇偶性的几个性质

1、对称性：

奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

2、整体性：

奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；

3、可逆性：

是偶函数；奇函数；

4、等价性：

；；

5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；

6、可分性：

根据函数奇偶性可将函数分类为四类：

奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

8、如果一个奇函数f（x）在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。

并且关于原点对称。

三、关于奇偶函数的图像特征

一般地：

奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；

即：

f（x）为奇函数<=>f（x）的图像关于原点对称　　点（x,y）→（-x,-y）　

偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。

即：

f（x）为偶函数<=>f（x）的图像关于Y轴对称　　点（x,y）→（-x,y）　　

奇函数对称区间上的单调性相同（例：

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

）

偶函数对称区间上的单调性相反（例：

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。

2．函数奇偶性与单调性（最值）之间的关系

（1）若奇函数f（x）在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f（x）在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.

（2）若偶函数f（x）在（－∞，0）上是减函数，则f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

五、关于函数奇偶性的简单应用

1、函数的对称性

如果函数f（x）满足f（a＋x）＝f（a－x）或f（x）＝f（2a－x），则函数f（x）的图象关于直线⑮______对称．

一般的，若f（a＋x）＝f（b－x），则函数f（x）的对称轴方程是⑯______.

两个函数与的图象关于直线对称.

2、函数的周期性

函数的周期性的定义：

设函数y＝f（x），x∈D，若存在非零常数T，使得对任意的x∈D都有⑰________，则函数

f（x）为周期函数，T为y＝f（x）的一个周期．

（1）周期函数：

对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．

（2）最小正周期：

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．

（3）周期函数不一定有最小正周期，若T≠0是f（x）的周期，则kT（k∈N＋）也一定是f（x）的周期．

若函数f（x）对定义域中任意x满足f（x＋a）＝－f（x）或f（x＋a）＝－（a≠0），则函数f（x）是周期函数，它的一个周期是⑱________.若,则函数的图象关于点对称;

六、函数的奇偶性的判断

函数奇偶性的因素有两个：

定义域的对称性和数量关系。

判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。

判断函数奇偶性的方法：

（1）、利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、相等，判断步骤如下：

1、若定义域不对称，则为非奇非偶函数；

若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系怎样成立？

若成立，则为偶函数；若成立，则为奇函数；

若成立，则为既是奇函数也是偶函数；若都不成立，则为非奇非偶函数。

2．讨论函数奇偶性时，注意定义域优先原则．

3．由奇偶函数的图象的对称性，只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质，就可得出函数在其

对称区间上的性质．

4．若T是f（x）的一个周期，则kT（k≠0，k∈Z）也是f（x）的周期．

5．

（1）若函数f（x）存在两条平行于y轴的对称轴，则函数f（x）是周期函数；若函数f（x）具有奇偶性，又

有一条平行于y轴的对称轴，则函数f（x）是周期函数．

6．注意函数性质的逆向应用．

（2）、图像法：

f（x）为奇函数<=>f（x）的图像关于原点对称　　点（x,y）→（-x,-y）　　

f（x）为偶函数<=>f（x）的图像关于Y轴对称　　点（x,y）→（-x,y）　　

（3）、特值法：

根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断

函数奇偶性。

（4）、性质法　　

（5）、函数奇、偶性的运算：

利用已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：

1）若f（x）与g（x）都是奇函数，则在f（x）与g（x）的定义域的公共区间上，

f（x）＋g（x），f（x）－g（x）都是奇函数，f（x）·g（x）与为偶函数．

2）若f（x）与g（x）都是偶函数，则在f（x）与g（x）的定义域的公共区间上，

f（x）＋g（x），f（x）－g（x），f（x）·g（x），都是偶函数．

3）奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；

4）若f（x）与g（x）中一个为奇函数，另一个为偶函数，则在f（x）与g（x）的定义域的公共区间上，

f（x）·g（x），都为奇函数．

3．若y＝f（x）为奇函数，且y＝f（x）在x＝0处有意义，则f（0）＝0.

性质

1、偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。

2、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

3、对于F（x）=f[g（x）]：

若g（x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数　

　若g（x）奇函数且f（x）是奇函数，则F（x）是奇函数　　

若g（x）奇函数且f（x）是偶函数，则F（x）是偶函数　　

5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称

案例分析：

考点一、判断函数的奇偶性

例1．判断下列函数是否是偶函数．

（1）

（2）

（3）f（x）=x+x3+x5；（4）f（x）=x2+1；

（5）f（x）=x+1；（6）f（x）=x2，x∈[–1，3]；

（7）f（x）=0.

变式训练

1、判断下列函数的是否具有奇偶性：

（1）f（x）=x+x3；

（2）f（x）=–x2；

（3）h（x）=x3+1；（4）k（x）=，x[–1，2]；

（5）f（x）=（x+1）（x–1）；（6）g（x）=x（x+1）；

（7）h（x）=x+；（8）k（x）=.

2、下面四个结论中，正确命题的个数是（　　）

①偶函数的图像一定与y轴相交；②函数f（x）为奇函数的充要条件是f（0）＝0；

③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）．

A．1B．2C．3D．4

考点二、分段函数的奇偶性

解析：

分别讨论每一个区间与其对称区间上的对称性，是否符合奇偶性的定义．

例1、判断下列函数的奇偶性：

①

②

分析：

先验证函数定义域的对称性，再考察．

解：

（1）＞0且＞=＜＜，它具有对称性．因为，所以是偶函数，不是奇函数．

（2）当＞0时，－＜0，于是

当＜0时，－＞0，于是

综上可知，在R－∪R+上，是奇函数．

例2、判断函数f（x）＝的奇偶性．

思路点拨：

分x＞0或x＜0两种情况计算f（－x），然后再判断f（－x）与f（x）的关系．

解：

函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．

①当x＞0时，－x＜0，

则f（－x）＝（－x）3＋3（－x）2－1＝－x3＋3x2－1＝－（x3－3x2＋1）＝－f（x）．

②当x＜0时，－x＞0，

则f（－x）＝（－x）3－3（－x）2＋1＝－x3－3x2＋1

＝－（x3＋3x2－1）＝－f（x）．

由①②知，当x∈（－∞，0）∪（0，＋∞）时，

都有f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数．

【名师点拨】　分段函数的奇偶性应分段证明f（－x）与f（x）的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．也可根据图象判定．

1、如果函数f（x）＝，其奇偶性怎样？

解：

当x＞0时，f（x）＝x3－3x2＋1，－x＜0，f（－x）＝－（－x）3－3（－x）2＋1＝x3－3x2＋1＝f（x）．

当x＜0时，f（x）＝－x3－3x2＋1.－x＞0，f（－x）＝（－x）3－3（－x）2＋1＝－x3－3x2＋1＝f（x）．

综上可得f（－x）＝f（x）

∴f（x）为偶函数．

考点二、利用奇偶函数图像的对称性质

由偶函数的定义可得：

偶函数的图像关于y轴对称，反过来，若一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

由奇函数的定义可得：

奇函数的图像关于原点对称，反过来，若一个函数的图像关于原点对称，则这个

函数是奇函数

例1、设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图,则不等式的解是

例2．如图，给出了奇函数y=f（x）的局总图象，求f（–4）.

例3．如图，给出了偶函数y=f（x）的局部图象，试比较f

（1）与f（3）的大小.

1．奇函数y＝f（x）（x∈R）的图象必过点（　　）

A．（a，f（－a））　　　　B．（－a，f（a））C．（－a，－f（a））D．（a，f（））

解析：

∵f（x）是奇函数，∴f（－a）＝－f（a），即自变量取－a时，函数值为－f（a），故图象必过点（－a，－f（a））．

答案：

C

2．若函数y＝f（x）是偶函数，其图象与x轴有两个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是（　　）

A．2B．1C．0D．－1

解析：

∵偶函数图象关于y轴对称，∴f（x）与x轴的两个交点关于y轴对称，若一根为x1，则另一根必为－x1，故f（x）＝0的所有实根之和为0.

答案：

C

3．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（7）＝（　　）

A．－2B．2C．－98D．98

解析：

∵f（x＋4）＝f（x），∴f（7）＝f（3＋4）＝f（3）＝f[4＋（－1）]＝f（－1）．

又∵f（－x）＝－f（x），∴f（－1）＝－f

（1）＝－2×12＝－2，∴f（7）＝－2，故选A.

答案：

A

考点三、根据奇偶性求函数解析式

例3、已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝2x2＋3x－1，求f（x）的解析式．

分析：

由奇函数的定义知f（0）＝0，再由f（－x）＝－f（x）计算当x<0时f（x）的表达式，构成定义在R上的奇函数．

解：

∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．

∵当x<0时，－x>0，∴f（x）＝－f（－x）＝－2x2＋3x＋1.

又∵奇函数f（x）在原点的定义，f（0）＝0.

∴f（x）＝

1、设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，则f

（1）＝（　　）

A．－3B．－1C．1D．3

[解析]　本题主要考查函数的奇偶性以及函数值的求法．f

（1）＝－f（－1）＝－[2（－1）2－（－1）]＝－3，

故选A.

2、已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x（1＋），求当x∈