高中数学人教A版选修23教师用书第2章+22+222 事件的相互独立性Word文档下载推荐.docx

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不可能同时发生的两个事件

符合

相互独立事件A，B同时发生，记作：

AB

互斥事件A，B中有一个发生，记作：

A∪B（或A＋B）

计算公式

P（AB）＝P（A）P（B）

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）

2.n个事件相互独立

对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．

3．独立事件的概率公式

（1）若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）×

P（B）；

（2）若事件A1，A2，…，An相互独立，则P（A1A2…An）＝P（A1）×

P（A2）×

…×

P（An）．

[基础自测]

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）对事件A和B，若P（B|A）＝P（B），则事件A与B相互独立；

（　　）

（2）若事件A，B相互独立，则P（）＝P（）×

P（）．（　　）

（3）如果事件A与事件B相互独立，则P（B|A）＝P（B）．（　　）

（4）若事件A与B相互独立，则B与相互独立．（　　）

[解析]　　

（1）√　若P（B|A）＝P（B），则P（AB）＝P（A）·

P（B），故A，B相互独立，所以

（1）正确；

（2）√　若事件A，B相互独立，则、也相互独立，故

（2）正确；

（3）√　若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故（3）正确；

（4）×

　B与相互对立，不是相互独立，故（4）错误．

[答案]　

（1）√　

（2）√　（3）√　（4）×

2．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是（　　）

【导学号：

95032153】

A．相互独立事件　　　　B．不相互独立事件

C．互斥事件D．对立事件

A　[由概率的相关概念得A1与A2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件．]

3．一个学生通过一种英语能力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是（　　）

A.　　　B.　　　　C.　　　D.

C　[由题意知，恰有一次通过的概率为×

＋×

＝.]

4．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．

　[由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P＝×

×

[合作探究·

攻重难]

相互独立事件的判断

　判断下列各对事件是否是相互独立事件．

（1）甲组3名男生，2名女生；

乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；

（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；

（3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．

[思路探究]　

（1）利用独立性概念的直观解释进行判断．

（2）计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．（3）利用事件的独立性定义判断．

[解]　

（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．

（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；

若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．

（3）记A：

出现偶数点，B：

出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，

所以P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝.

所以P（AB）＝P（A）·

P（B），

所以事件A与B相互独立．

[规律方法]　判断事件是否相互独立的方法

1．定义法：

事件A，B相互独立⇔P（AB）＝P（A）·

P（B）．

2．直接法：

由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．

3．条件概率法：

当P（A）>

0时，可用P（B|A）＝P（B）判断．

[跟踪训练]

1．

（1）下列事件中，A，B是相互独立事件的是（　　）

A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”

B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”

C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”

D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”

（2）甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：

“甲击中目标”，事件B：

“乙击中目标”，则事件A与事件B（　　）

A．相互独立但不互斥　B．互斥但不相互独立

C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥

（1）A　

（2）A　[

（1）把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；

B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；

对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；

D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A.

（2）对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；

对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A.]

相互独立事件同时发生的概率

　甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和.求：

（1）两人都能破译的概率；

（2）两人都不能破译的概率；

（3）恰有一人能破译的概率；

（4）至多有一人能够破译的概率.

95032154】

[解]　设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A、B相互独立，从而A与、与B、与均相互独立．

（1）“两人都能破译”为事件AB，则

P（AB）＝P（A）P（B）＝×

＝.

（2）“两人都不能破译”为事件，则

P（）＝P（）P（）

＝[1－P（A）][1－P（B）]

＝×

（3）“恰有一人能破译”为事件（A）∪（B），

又A与B互斥，

所以P[（A）∪（B）]＝P（A）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＝×

（4）“至多一人能破译”为事件（A）∪（B）∪（），而A、B、互斥，故P[（A）∪（B）∪（）]＝P（A）＋P（B）＋P（）＝P（A）P（）＋P（）·

P（B）＋P（）P（）＝×

[规律方法]

1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：

（1）首先确定各事件是相互独立的；

（2）再确定各事件会同时发生；

（3）先求每个事件发生的概率，再求其积．

2．公式P（AB）＝P（A）P（B）可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）．

2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：

（1）第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；

（2）第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．

[解]　记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．

（1）P（AB）＝P（A）P（B）＝×

故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是.

（2）P（CA）＝P（C）P（A）＝·

＝·

故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.

事件的相互独立性与互斥性

[探究问题]

1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？

事件B与A呢？

[提示]　事件A与B，与B，A与均是相互独立事件，而B与A是互斥事件．

2．在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？

[提示]　“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝B＋A.

所以P（C）＝P（B＋A）＝P（B）＋P（A）

＝P（）·

P（B）＋P（A）·

P（）

＝（1－0.6）×

0.6＋0.6×

（1－0.6）＝0.48.

　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：

（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率．

（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.

95032155】

[思路探究]　

（1）这三列火车之间是否正点到达互不影响，因此本题是相互独立事件同时发生的概率问题，注意两列正点到达所包含的情况．

（2）这三列火车至少有一列正点到达的对立事件是三列火车都没正点到达，这种情况比正面列举简单些，因此利用对立事件的概率公式求解．

[解]　用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（C）＝0.9，

所以P（）＝0.2，P（）＝0.3，P（）＝0.1.

（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为

P1＝P（BC）＋P（AC）＋P（AB）

＝P（）P（B）P（C）＋P（A）P（）P（C）＋P（A）P（B）P（）

＝0.2×

0.7×

0.9＋0.8×

0.3×

0.1＝0.398.

（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为

P2＝1－P（）

＝1－P（）P（）P（）

＝1－0.2×

0.1＝0.994.

母题探究：

1.（改变问法）本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．

[解]　恰有一列火车正点到达的概率

P3＝P（A）＋P（B）＋P（C）

＝P（A）P（）P（）＋P（）P（B）P（）＋P（）P（）P（C）

＝0.8×

0.1＋0.2×

0.9＝0.092.

2．（变换条件，改变问法）若一列火车正点到达计5分，用ξ表示三列火车的总得分，求P（ξ≤10）．

[解]　事件“ξ≤10”表示“至多两列火车正点到达”其对立事件为“三列火车都正点到达”，

所以P（ξ≤10）＝1－P（ABC）

＝1－P（A）P（B）P（C）

＝1－0.8×

0.9＝0.496.

[规律方法]　与相互独立事件有关的概率问题求解策略

明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．

一般地，已知