极化恒等式资料讲解Word文档下载推荐.docx
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uuuuuiuuuur一
PAPBPCx,、3y2x,2y
2x2+2y2,3y2x2
解法2(极化恒等式):
uuur
uju
uuu
ujun
1iiLLr2
2aoI
uuju
PA
PB
PC
2P0
PM
设BC的重点为O,0C的中点为M,连接0P,
PM,
3
当且仅当M与P重合始去等号.
例2在VABC中,已知C90o,AC4,BC3,D是AB的中点,E,F分别是BC,AC上的uuuruuur
动点,且EF=1,则DEDF的最小值为()
A昱B.15C.17D.丄
4444
解法1(坐标法)
以AC所在直线为x轴,BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则
A4,O,B0,3,D2,-,
设E0,b,Fa,0,则
b2
UULT
DE
2,b1
UUUT
DF
ujutuut25DEDF2a
4
3b
y
25
4a
由柯西不等式可得:
a2
42
32
,即4a
3b5,当且仅当a5
,b5时取
iuur
等号,DEDF
1
解法2(极化恒等式)
UUUU2
UUUT2
UJUT2
DM
EM
CD
—
UJITUULT
DEDF
本题也可用三角换元法解决
A.ABC90oB.ABACC.BAC90°
D.ACBC
以AB为x轴,AB的中垂线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,设
AB4,Ca,b,Px,0,贝U
uuuuuuumruuir
F01,0,A2,0,B2,0,PB2x,0,PCax,b,F0B1,0,RCa1,b,
uuuuuuuurluir
QPBPCP0BPC,2xaxa1恒成立,即:
xa1x10恒成立,
a11,即:
a0,
pli^PC=~P^-(PR+Rcy\71Q=AB-AHa2+
T而•荒M丽•乩目冠=R,化当z=]吋,用•疋取得最小值,
.苏昴_1
”—皿易r
:
朮兪=一护朮初=一血皿(0为BC的中点),
•二方•{石7卜刃5)=山即;
刁^0?
=0,
AOCLAB.乂TO为R「的中点,
:
.AC=B(\故选(D).
解法2(基地法)解法3(极化恒等式)
二|而卜-:
誌空|恥卜-:
祝巴二|而|纠恥卜
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解法2(基底法)
设万a,I)P=hf
则初.c5=(7+3"
AH-7+3T)=9|~A|2-|^|2=4,
菇•手=(“+方)•(——a+b)=|b|2—|a卩=——1*
—气〜13
解得:
|b|2=gt|(i
/.a+2b)*(—a+2b}=4|bp—|a
解法3(极化恒等式)
设DC^a.DF=b,窈•打二血卩一|詡一卅=4#
詁抒=|詡卩一画卩初一宀一1,
解得;
沖=:
例5、(2018宝鸡一模)直线axbyc0与圆O:
x2寸馅相交于两点M,N,若
ooouuurmur
c2a2b2,P为圆O上任意一点,贝UPMPN的取值范围为
解法1(坐标法)以O为坐标原点,MN的平行线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,
则戸立=(—715—4cosfl*—1—4stnfl)t
oXt)+I^|2^4X4Xcos2ZV/04-2^04+I6^16X(2cos2ZA/<
M-1)-2X4X|Xcos<
«
?
r心+1昨=2—
8co亦亦*«
3>
e|-6,101,
故PM•冋V的取值范碉为|—6,10].
设MV的中点为zL筋•函r=|曲雨即=|丙卜一仮
丁|湖一|衬底]丙底|讷+|丽|,
A3^|pt|^5T茁心ID.nmth40
陥•蔵=|用|2—15E[—6,10],
例6,如图,已知B,D是直角C两边上的动点,
以C为坐标原点,BC为x轴,建立如图所示的直角坐标系,
则C&
*cXr=^[5cos2//+43sin/kostf十3听】卩"
|=:
(23sin2^+cos2tf+4)=^(\;
'
I3sin(2^+^)I4|^j(/13+4)>
故筋的显大値为J(13+4).
设ZCD"
二仏揄•內'
=:
(刁+詡卜(再+刃)=:
(2詡
+/卜(2胡+励=:
(2尬刃+谕•祁+苗切)=a
+co$2^+4)=|[13En(2"
+叭+引W»
\「3+4).
故插•乔t的故人值为:
(:
.<
13+4).
解法3(极化恒等式):
设的中点为G.BD的中点为仏帀衣=|&
卩—:
|耐2=|商一容如4mathlO
「I苗w|函+崗=£
+晋,
A初=:
(佃+4"
故陆揃9般人们为扌(13+4).
B