届二轮复习 高考解答题突破三 数列的综合应用学案 全国通用文档格式.docx
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[解]
(1)由题意知,2Sn=(n+1)2an-n2an+1,
巧造等差或等比判定方法
(1)判断一个数列是等差(等比)数列,还有通项公式法及前n项和公式法,但不作为证明方法;
(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列,只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可;
(3)a=an-1an+1(n≥2,n∈N*)是{an}为等比数列的必要而不充分条件,也就是要注意判断一个数列是等比数列时,要注意各项不为0.
[对点训练]
1.(2018·
常州一模)已知n为正整数,数列{an}满足an>
0,4(n+1)a-na=0,设数列{bn}满足bn=.
(1)求证:
数列为等比数列;
(2)若数列{bn}是等差数列,求实数t的值.
[解]
(1)证明:
∵数列{an}满足an>
0,4(n+1)a-na=0,
∴2an=an+1.即=.
∴数列是以2为公比的等比数列.
(2)由
(1)可得=a1×
2n-1,∴a=na·
4n-1.
∵bn=,∴b1=,b2=,b3=.
∵数列{bn}是等差数列,∴2×
=+.
∴=a+,
即16t=t2+48,解得t=12或t=4.
经检验,当t=12时,b2,b3,b4不成等差数列,故舍去.
当t=4时,bn==,数列{bn}为等差数列,所以t的值为4.
考向二 数列的通项与求和
1.求数列的通项公式的方法
(1)等差、等比数列的通项公式适合用基本量法;
(2)已知an与Sn间关系式时适合用an=求得;
(3)依据递推关系变形为等差(等比)数列求得.
2.求数列的前n项和的方法
结合数列通项公式的特点,采用裂项相消、错位相减、分组求和等方法.
[解]
(1)由题意知当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5.
求解数列通项和前n项和的关键步骤
2.(2018·
南宁第二次适应性测试)在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且2a1,a3,3a2成等差数列.
(1)求等比数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=(n+2)log2an,求数列的前n项和Tn.
[解]
(1)设数列{an}的公比为q,
∵2a1,a3,3a2成等差数列,∴2a1+3a2=2a3,
即2a1+3a1q=2a1q2,
化简得2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-.
∵q>
0,∴q=2.
∵a1=2,∴数列{an}的通项公式an=a1qn-1=2n,n∈N*.
(2)∵bn=(n+2)log2an=n(n+2),
∴==,
Tn=++…++
=
=-.
考向三 数列与不等式的综合应用
数列与不等式的综合问题主要体现在以下三方面:
(1)判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小,或者借助数列对应函数的单调性比较大小,还可以作差或作商比较大小;
(2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,此类问题可转化为函数的最值问题;
(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题,此类问题常通过构造函数证明,或者直接利用放缩法证明.
[解]
(1)∵4Sn=an·
an+1,n∈N*,
“算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想,利用这种思想可探索一些一般数列的简单性质.等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列,高考中通常考查的是非等差、等比数列问题,应对的策略就是通过化归思想,将其转化为这两种数列.审题时应注意归纳法的运用,要看清项及下标的特征,要注意下标的范围.
3.(2018·
临川质检)已知数列{an}满足对任意的n∈N*,都有a+a+…+a=(a1+a2+…+an)2,且an>
0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Sn,不等式Sn>
loga(1-a)对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围.
[解]
(1)由a+a+…+a=(a1+a2+…+an)2知
a+a+…+a=(a1+a2+…+an+1)2,
则a=(a1+a2+…+an+1)2-(a1+a2+…+an)2=an+1[2(a1+a2+…+an)+an+1],
又an>
0,所以a=2(a1+a2+…+an)+an+1,
则a=2(a1+a2+…+an-1)+an(n≥2),
故a-a=an+an+1,所以an+1-an=1.
又a=a,所以a1=1.
又a=2a1+a2,所以a2=2,所以a2-a1=1,即当n≥1时,有an+1-an=1,
所以数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n.
(2)由
(1)知an=n,
则==,
所以Sn=++…+=++…+=-,
则Sn+1-Sn=>
0,所以数列{Sn}单调递增,所以(Sn)min=S1=.
要使不等式Sn>
loga(1-a)对任意正整数n恒成立,只要>
loga(1-a)即可.
易知0<
a<
1,则1-a>
a,解得0<
.
所以实数a的取值范围是.
专题跟踪训练(二十)
内蒙古包头一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3的值.
(2)设bn=an+3,试说明数列{bn}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式.
[解]
(1)当n=1时,由S1=a1=2a1-3×
1,得a1=3;
当n=2时,由S2=a1+a2=2a2-3×
2,可得a2=9;
当n=3时,由S3=a1+a2+a3=2a3-3×
3,得a3=21.
(2)因为Sn=2an-3n,所以Sn+1=2an+1-3(n+1).
上述两式相减得an+1=2an+3,所以an+1+3=2(an+3),
所以bn+1=2bn,且b1=6.
所以数列{bn}是以6为首项,2为公比的等比数列.
所以bn=6×
2n-1.
所以an=bn-3=6×
2n-1-3=3(2n-1).
长春实验中学一模)已知在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足S=an.
(1)求Sn的表达式.
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
[解]
(1)当n≥2时,将an=Sn-Sn-1代入S=an中,得2SnSn-1+Sn-Sn-1=0,化简得-=2,=1,∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列.
∴=2n-1,即Sn=.
(2)bn===.
∴Tn==·
=.
3.已知各项均为正数的等差数列{an}满足:
a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,设数列{an}的前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设数列的前n项和为Tn,求证:
Tn<
3.
[解]
(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,an>
0,
所以解得
所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.
(2)证明:
由
(1)知a1=d=2,则Sn=2n+×
2=n2+n.所以=.
所以Tn=+++…+,①
Tn=++…++.②
由①-②得,Tn=+++…+-.
所以Tn=2+++…+-=2+-=3--<
故Tn<
4.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn=a-4n-1,且a1=1,公比大于1的等比数列{bn}满足b2=3,b1+b3=10.
(1)求证数列{an}是等差数列,并求其通项公式;
(2)若cn=,且cn≤t2+t-2对一切正整数n恒成立,求实数t的取值范围.
[解]
(1)因为4Sn=a-4n-1,所以当n≥2时,4Sn-1=a-4(n-1)-1,
得4an=4Sn-4Sn-1=a-a-4,
即a=a+4an+4=(an+2)2.
因为an>
0,所以an+1=an+2.
所以当n≥2时,{an}是公差d=2的等差数列,
又因为a1=1,a=4a1+5=9,所以a2=3.
故{an}是首项为1,公差为2的等差数列.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)由题意得+b2q=10,解得q=3或q=(舍去).
所以bn=3n-1,cn==.
由cn+1-cn=(2n+1)·
n+1-(2n-1)·
n=n·
(1-n)≤0,可得cn的最大值为c1=,
由cn≤t2+t-2对一切正整数n恒成立,
得≤t2+t-2,解得t≥1或t≤-.
即实数t的取值范围为∪[1,+∞).