最新高等数学上册期末考试试题含答案ANWord格式.docx

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dw=x·

60gdx=60gxdx．

于是将水全部抽出所作功为

．

5．求对数螺线相应θ=0到θ=φ的一段弧长．

6．已知曲线f（x）=xx2与g（x）=ax围成的图形面积等于，求常数a．

如图13，解方程组得交点坐标为（0，0），（1a，a（1a））

∴

依题意得

得a=2．

（13）

7．证明：

无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2.

证明：

如果，那么对于（使）,存在x0，当时

即

成立，显然与同进收敛或发散.

如果，则有,显然收敛,则亦收敛.

如果，则有，显然发散，则亦发散.

习题五

8．用分部积分法求下列不定积分：

原式=

原式=.

∴原式=

.

原式

又

所以

9．利用基本积分公式及性质求下列积分：

原式.

；

原式=3

10．甲、乙两用户共用一台变压器（如13题图所示），问变压器设在输电干线AB的何处时，所需电线最短？

所需电线为

13题图

在0<

x<

3得唯一驻点x=1.2（km），即变压器设在输电干线离A处1.2km时，所需电线最短.

11．在半径为r的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.

设圆柱体的高为h,则圆柱体底圆半径为，

令,得

即圆柱体的高为时，其体积为最大.

12．试问a为何值时，函数在处取得极值？

它是极大值还是极小值？

并求此极值.

f（x）为可导函数，故在处取得极值，必有

，得a=2.

又，

所以是极大值点，极大值为.

13．利用洛必达法则求下列极限：

⑴;

⑵;

⑶;

⑷;

⑸;

⑹;

⑺;

⑻;

⑼;

⑽;

⑾;

⑿;

⒀;

⒁;

⒂;

⒃;

⒄.

⑴原式=.

⑵原式=.

⑶原式=.

⑷原式=.

⑸原式=.

⑹原式=.

⑺原式=.

⑻原式=.

⑼原式

⑽原式=

令

∴原式=.

⑾令，则

⑿令，则

⒀原式

⒁原式

⒂原式

⒃令，则

⒄令，则

14．设函数f（x）=x2（0≤x<

1），而，-∞<

+∞，其中（n=1,2,3,…），求.

先对f（x）作奇延拓到,[-1,1]，再以2为周期延拓到（-∞,+∞），并将f（x）展开成正弦级数得到s（x），延拓后f（x）在处连续，故.

15．下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？

有没有满足定理结论中的？

⑴；

⑵；

⑶

⑴在上不连续，不满足罗尔定理的条件.而，即在（0，1）内不存在，使.罗尔定理的结论不成立.

⑵

不存在，即在区间内不可导，不满足罗尔定理的条件.

而

即在（0，2）内不存在，使.罗尔定理的结论不成立.

⑶因,且在区间上不连续，不满足罗尔定理的条件.

而,取，使.有满足罗尔定理结论的.

故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.

16．下列函数是否相等,为什么?

解:

（1）相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集R;

由知两函数的对应法则也相同;

所以两函数相等.

（2）相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.

（3）不相等.

因为函数的定义域是,而函数的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.

17．计算曲线y=coshx上点（0，1）处的曲率.

当x=0时，，

18．某人走过一桥的速度为4km·

h-1，同时一船在此人底下以8km·

h-1的速度划过，此桥比船高200m，求3min后，人与船相离的速度.

设t小时后，人与船相距s公里，则

且（km·

h－1）

19．一点沿对数螺线运动，它的极径以角速度旋转，试求极径变化率.

20．计算的近似值，使误差不超过.

21．利用四阶泰勒公式，求的近似值，并估计误差.

22．设可导，求下列函数y的导数：

⑴

23．试求曲线在点（0，1）及点（－1，0）处的切线方程和法线方程.

故在点（0，1）处的切线方程为：

，即

法线方程为：

在点（－1，0）处的切线方程为：

24．已知，求.

当时，,

故不存在.

综上所述知

25．求下列函数的导数:

（1）;

（2）;

（3）;

26．设函数

为了使函数在点处连续且可导，应取什么值？

因

要使在处连续，则有

又

要使在处可导，则必须，

即故当时，在处连续且可导.

27．当时，无穷小量与是否同阶？

是否等价？

∴当时，是与同阶的无穷小.

∴当时，是与等价的无穷小.

28．利用夹逼定理求下列数列的极限:

其中为给定的正常数;

而,当时,

（2）记

则有

而

即.

（3）

故.

（4）

29．写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:

当时,.

当n无限增大时,有三种变化趋势:

趋向于,趋向于0,趋向于.

当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.

30．证明恒等式：

令,

故，又因,所以,即

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

1．无

2．无

3．无

4．无

5．无

6．无

7．无

8．无

9．无

10．无

11．无

12．无

13．无

14．无

15．无

16．无

17．无

18．无

19．无

20．无

21．无

22．无

23．无

24．无

25．无

26．无

27．无

28．无

29．无

30．无