第4章第2节 直线射线线段文档格式.docx

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本章中一些角与线段的计算问题要通过设元，列方程解出未知数来解决。

通过这种训练初步形成方程的思想。

3.分类及分类讨论的思想。

通过本章中一些命题确定的题设条件产生的不唯一结论的讨论，初步形成分类讨论的思想。

二.重要数学能力

1.培养几何术语的表达能力。

本章是平面几何的第一章，要学习许多几何术语的表达，如“有且只有”、“经过”、“无限延长”等，掌握它们需要有一个过程。

因此，要了解它们的含义，逐步培养表达能力。

2.图形的观察记忆等能力，观察图形的特征。

并在一些稍复杂的图形中分辨出几何概念定义的基本图形。

三.知识点讲解

1.体、面、线、点

（1）只考虑物体的形状，大小和位置的物体叫做几何体。

体是由面围成的，面与面相交于线，线与线相交于点。

对于面、线、点应认识到它们是不定义的原始概念，只给一个形象上的、描述性的认识。

（2）面有平面和曲面。

如桌面可以想象为一个平面。

皮球的表面可以想象为一个曲面。

现实的世界中是找不到几何中的面的。

它是从实际物体中抽象出来的图形。

几何重点研究平面，把它看成是一个到处平直，没有厚度，向各个方向无限延展的面。

（3）线有直线和曲线之分。

如一束光线，可以想象成直线。

一个圆桌的边可想象成曲线。

同样几何中说的线，也只能从实物中想象。

要把线看成没有宽窄，其中直线又是可以向两个方向无限延伸的。

（4）对于点，有时我们在纸上画一个红点就代表一个点，在地图上把一个城市看成一个点，这些都想象为点。

几何中的点在现实中也是找不到的。

几何中的点看成是没有形状和大小，只有位置的元素。

（5）一条线上有无数多点，一个面内有无数多点。

2.直线、射线、线段

（1）直线是不给定义的，但射线和线段是有定义的。

例：

数轴，数轴的作用是：

所有的实数都可以用数轴上的点表示（到代数开方一章后把数从有理数扩充到实数），由于实数是无穷多的，而实数与数轴上点又是一一对应的，且数轴本身是一条直线，因此我们很容易想到它是如何地向两方无限延伸的，同时可知直线是由无穷多点集合而成。

如图：

（3）这样一条数轴上包含着直线、射线、线段。

也可以说射线，线段均为直线上一部分。

小结为：

a：

直线向两方无限延伸，无端点，不可说延长直线。

b：

射线向一方无限延伸，有一个端点，向一方不可说延长射线，而可由端点处作反向延长线：

线段有确定的长度，有二个端点，可向两方作延长线。

注意：

延长线段是指按从A到B或者从B到A的方向延长；

延长用虚线；

有时也说反向延长。

如延长线段EF，反向延长线段BC等；

连结AC，就是要画出以A、C为端点的线段，因此连结这个词是线段专用的；

（3）直线、射线、线段的联系和区别：

a．三者的联系是：

射线和线段都是直线的一部分，在直线上取一点，可以分成两条射线，取两点可以得到一条线段和四条射线，把射线反向延长线或把线段两方延长就可得到直线。

b．三者的区别：

除前面讲到的端点个数和可无延伸外，再从表示方法上区别。

在表示方法上射线AB和射线BA是两条不同的射线，而直线AB和直线BA却表示同一条直线。

线段AB和线段BA表示同一条线段，但A和B是线段的端点。

直线AB和直线BA中的A、B两点是直线上的任意两点。

见表：

直线

射线

线段

图例

长度

不可测量

不可测量

可测量有长度

表示方法

两个大写字母（无序）一个小写字母

两个大写字母（有序端点在前）一个小写字母

端点个数

1

2

伸展性

两个延伸方向

一个延伸方向和一个延长方向

两个延长方向

之间关系

线段向两个方向延长形成直线

线段向一个方向延长

3.线段的中点：

因为点M是线段AB中点，所以AM=MB=AB；

AB=2AM=2MB；

反之，因为点M在线段AB上，且有AM=MB=AB或AB=2AM=2MB，所以M是线段AB的中点。

4.关于线段的计算：

两条线段长度相等，这两条线段称为相等的线段，记作AB=CD，平面几何中线段的计算结果仍为一条线段。

即使不知线段具体的长度也可以作计算。

（1）线段的和差

AB+BC=AC，或说：

AC-AB=BC

（2）线段的倍分

AC=CD=DB，即AB=3AC=3CD=3BD

或AC=AB，AD=AB，AB=AD

5.线段n等分点

如果（n-1）个点把线段分成n条相等的线段，这（n-1）个点叫做线段的n等分点.

6.线段公理：

两点之间的所有连线中，线段最短。

简单说成：

两点之间，线段最短

7．直线公理：

经过两点有一条直线，并且只有一条直线.

过两点有且只有一条直线

经过一点有无数条直线

7.线段比较大小

一种是度量的方法；

另一种是叠合的方法；

第三种是对线段大小的估计和观察的方法。

【典型例题】

例1.过三点A、B、C可以画几条直线？

解：

分两种情况：

（1）A、B、C在一条直线上，此时可画一条直线，如图所示：

（2）A、B、C不在一条直线上，此时，无法画直线。

例2.过A、B、C三点中的任意两点画直线，共可画几条？

（1）A、B、C三点在一条直线上，此时，可画一条直线，如图所示：

（2）A、B、C三点不在一条直线上，此时可画三条直线，如图所示：

[说明]：

例1、2在解的过程中都需要“分类讨论”，这是一种重要的数学思想方法，从初一就开始渗透，将对今后的学习起到很好的作用。

例3.在图中，共有几条线段？

分别把它们表示出来。

答：

共有6条线段，它们是：

线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD、线段CD。

说明：

识别有重叠部分的图形时，要注意不要遗漏、不重复。

该题通常可以以端点的次序计数：

以A为左端点的线段有：

AB、AC、AD；

以B为左端点的线段有：

BC、BD；

以C为左端点的线段有：

CD。

线段AB和线段BA是同一条线段。

例4.已知线段AB=5cm。

（1）在线段AB上画线段BC=3cm，并求线段AC的长；

（2）在直线AB上画线段BC=3cm，并求线段AC的长；

（1）用刻度尺画线段AB=5cm，在线段AB上画线段BC=3cm，如图

（1）所示，则AC=AB-BC=5cm-3cm=2cm；

（2）画直线a，在a上画线段AB=5cm，以B为端点在直线a上画线段BC=3cm（点C可能在B的左侧或右侧），如图

（2）所示，则AC=AB-BC=2cm或AC=AB+BC=8cm。

在线段AB上画线段BC，因线段是固定的，所以只能在线段AB上戴取，结果线段AC是唯一的；

在直线AB上截取线段BC，由于直线是向两方向无限延伸的，所以C点可以落在B点的左侧或右侧，故有两解。

例5.如图所示，把线段AB延长至D，使BD=2AB，再反向延长AB至C，使AC=AB，问：

①CD是AB的几倍？

②BC是CD的几分之几？

（1）∵CD=CA+AB+BD，又∵CA=AB，BD=2AB

　　∴CD=AB+AB+2AB=4AB

（2）∵BC=CA+AB=2AB，又∵CD=4AB

BC/CD=2AB/4AB=

CD是AB的4倍，BC是CD的1/2。

例6：

若一条直线上有两个点，则有几条线段？

若一条直线上有三个点，则有几条线段？

四个点呢？

五个点呢？

n个点呢？

两个点时有1条；

三个点时有1+2=3条；

四个点时有1+2+3=6条；

五个点时有1+2+3+4=10条；

n个点时有1+2+3+4+…+（n-1）=n（n-1）/2

［课堂练习］

1.某商场为了促销一种空调，2000年元旦那天购买该机可分为两期付款，在购买时先付一笔款，余下的部分及它的利息（年利率为5.6%）在2001年元旦付清，该空调售价每台8224元，若两次付款数相同，问每次应付款多少元?

（x=8224-x+（8224-x×

5.6%），x=4224）

2.某机关有三个部门，A部门有公务员84人，B部门有公务员56人，C部门有公务员60人，如果每个部门按相同比例裁减人员，使这个机关仅留公务员150人，求C部门留下的公务员人数.

（45人）

3.商场对顾客实行优惠，规定

（1）如果一次购物不超过200元，则不予折扣；

（2）若一次购物超过200元但不超过500元，按标价给予九折优惠；

（3）如果一次购物超过500元，其中500元按

（2）给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，如果他只去一次购买同样的商品，应付费多少元?

（168+470=638，500×

90%+138×

80%=560.4）

4.地球上我国人口最多，但水的人均占有量排到世界的第88位，是13个贫水国家之一。

在600多个城市中有400多个城市严重缺水。

为增强节水意识，某城市规定每吨生活用水价格为1.10元，每户每月定量为a吨，超过a吨的部分在基本价格的基础上加价70%，现已知某户五月份用水16吨，共付费23.76元，试求该城市对每户用水的定量a

（23.76/16>

1.1，故用户超过规定用水量，1.1a+（16-a）X1.1X（1+70%）=23.76，a=8）

5.有一片牧场，草每天都在匀速生长，（草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；

如果放牧21头牛，则8天吃完牧草。

设每头牛每天吃草的量是相等的，问：

（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完？

（2）要使牧草永远吃不完，至多放几头牛？

（设原有牧草a每天生长出的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草。

a+6b=24X6c；

a+8b=21X8c；

a+bx=16cx，x=18）

【模拟试题】

（答题时间：

40分钟）

1.判断

（1）经过两点有且只有一条直线（）

（2）直线是向两方向无限延伸的（）

（3）线段、射线都是直线的一部分（）

（4）线段AB是点A点B的距离（）

（5）田径运动会中的200米赛跑，起点与终点的距离是200米（）

（6）线段AC=BC，则C是AB的中点（）

（7）若线段AB=a，BC=b，则ACa+b（）

2.选择题

（1）下列说法正确的是（）

A.连接两点的直线叫做这两点的距离。

B.连接两点的射线叫做这两点的距离。

C.连接两点的线段叫做这两点的距离。

D.连结两点的线段的长度叫做两点的距离。

（2）阅读图形下面的相关的文字。

像这样，十条直线相交，最多交点的个数是（）

A.40B.45C.50D.55

（3）下列语句正确的是（）

A.直线AC和BD是不同的直线。

B.直线AD=AB+BC+CD。

C.射线DC