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现代控制理论理论教案

绪论

【教学目的】了解现代控制理论的基本原理及方法，以便进行系统分析与设计，同时为进一步学习现代控制理论打下较扎实的基础。

【教学重点】了解控制理论发展的三个阶段并掌握各阶段的主要任务。

【教学方法及手段】课堂教学

【课外作业】阅读教材

【学时分配】2学时

【教学内容】

本教材绪论部分主要讲述了以下几个问题：

一、控制理论发展简况

1）古典控制理论：

研究对象以单输入、单输出线性定常系统为主，以传递函数为系统的基本描述，以频率法和根轨迹法为主要分析与设计手段。

2）现代控制理论以状态状态空间模型为基础，可研究多输入、多输出、时变、非线性等各种对象；研究系统内部结构的关系提出了能控性、能观测性等重要概念，提出了不少设计方法。

3）大系统与智能控制阶段。

二、现代控制理论的基本内容

（1）线性多变量系统理论。

这是现代控制理论中最基础、最成熟的部分。

它揭示系统的内在想律，从能控性、能观测性两个基本概念出发，研究系统的极点配置、状态观测器设计和抗干扰问题的一般理论。

（2）最优控制理论。

在被控对象数学模型已知的情况下，寻求一个最优控制规律（或最优控制函数），使系统从某一个初始状态到达最终状态并使控制系统的性能在某种意义下是最优的。

（3）最优估计理论。

在对象数学模型已知的情况下，最优估计理论研究的问题是如何从被噪声污染的观测数据中，确定系统的状态，并使这种估计在某种意义下是最优的。

由于噪声是随机的，而且是非乎稳随机过程（随机序列），这种憎况下的状态估计是卡尔曼提出和解决的，故又称卡尔曼滤波。

这种滤波方法是保证状态估计为线性无偏最小估计误差方差的估计。

（4）系统辨识与参数估计。

这是基于对象的输入、输出数据、在希望的估计准则下，建立与对象等价的动态系统（即建立对象的数学模型），由于效学模型一船地说，是由阶致和参数决定的。

因此，要决定系统的阶数和参数（即参数估计）。

三、本课程的基本任务

该课程是工业自动化专业的一门重要的专业基础课程。

通过这门课的学习了解现代控制理论的基本原理及方法，以便进行系统分析与设计，同时为进一步学习现代控制理论打下较扎实的基础。

所谓系统分析，就是指在规定的条件下，对数学模型已知的性能进行分析。

系统分析包括定量分析和定性分析。

定量分析是通过系统对某一个输人信号的实际响应来进行的；定性分析则研究系统能控性、能观测性、稳定性和关联性等一般特性。

各种设计方法往往来源于系统分析。

因此，系统分析是十分重要的。

所谓系统设计，就是构造一个能完成给定任务的系统，这个系统具有所希望的瞬态，稳态性能以及抗干扰性能。

一般地说，设计过程不是一个简单的一次能完成的过程，而是一个逐步完善的过程。

在这个过程中，有可能引入补偿器或调整某些参数。

第一章控制系统的数学模型

第一节状态空间表达式

【教学目的】了解状态空间描述的基本概念，掌握根据物理机理来建立状态空间表达式。

掌握状态空间表达式的建立方法。

【教学重点】基本概念的剖析与掌握。

【教学难点】掌握状态变量是确定系统状态的最小一组变量。

【教学方法及手段】课堂教学

【课外作业】1.1

【学时分配】2学时

【教学内容】

一、状态、状态变量和状态空间

通过RLC电路讲清楚状态、状态变量、状态空间的基本概念。

二、状态空间表达式

通过RLC电路的状态方程的建立将其分析结果推广到一般情况，可得到以下各种情况：

1）多输入、多输出（MIMO）线性定常系统：

=

（1-1）

其中A为系统矩阵，B为输入矩阵，C为输出矩阵，D为直接传输矩阵或称关联矩阵。

2）单输入、单输出（SISO）系统：

（1-2）

3）多输入、多输出（MIMO）线性时变系统：

（1-3）

4）非线性时变系统：

Y=（1-4）

5）非线性定常系统：

=

（1-5）

三、状态变量的选取

1）同一系统可以取不同的状态变量；

2）状态变量的选取是非唯一的；

3）系统状态变量的数目是唯一的。

四、状态空间表达式建立的举例

通过质量、弹簧、阻尼器系统和直流他励电动机的状态空间表达式的建立以了解实际系统的建模步骤及思想。

第二节由微分方程求状态空间表达式

【教学目的】掌握根据系统微分方程建立状态空间表达式的方法。

【教学重点】状态方程的建立。

【教学难点】不同形式状态方程的建立。

【教学方法及手段】课堂教学

【课外作业】1.5

【学时分配】2学时

【教学内容】

微分方程中不含有输入信号导数项

一般情况下，系统的输入和输出关系由n阶微分方程描述：

（1-6）

（1-7）

二、微分方程含有输入信号的导数项

（1-8）

第三节传递函数矩阵

【教学目的】掌握系统传递函数矩阵也是线性定常系统的一种描述。

【教学重点】系统传递函数矩阵的求解

【教学难点】由状态空间表达式求系统传递函数阵

【教学方法及手段】课堂教学

【课外作业】1.7

【学时分配】1学时

【教学内容】

1）单输入、单输出系统的传递函数：

（1-39）讲例1-4

2）传递函数矩阵：

；（1-43）讲例1-5，例1-5的特点为两输入、两输出系统，这有别于单位输入、单输出系统。

3）闭环系统传递函数矩阵

（1-9）

4）传递函数描述和状态空间描述的比较。

见P19

第四节离散系统的数学描述

【教学目的】了解离散系统空间表达式的建立方法。

【教学重点】差分方程、脉冲传递函数化为离散系统状态空间表达式。

【教学难点】离散系统空间表达式与连续系统表达式的区别。

【教学方法及手段】课堂教学

【课外作业】1-8,1-9

【学时分配】1学时

【教学内容】

1）差分方程中不含有输入量差分项的状态空间表达式的建立；

以三维为例，，

2）差分方程中含有输入量差分项的状态空间表达式的建立；

G、H、C同上

讲清例1-6并要求画出状态图

3）脉冲传递函数（矩阵）

，（1-10）

通过例1-7搞清离散系统的传递函数矩阵的求法。

第五节线性变换

【教学目的】通过研究线性变换关系得到便于应用且简单的状态空间表达式

【教学重点】各种标准的状态空间表达式，如能控、能观、对角、约旦型。

【教学难点】非奇异变换阵的选取

【教学方法及手段】课堂教学

【课外作业】1-11，1-12

【学时分配】2学时

【教学内容】

1）等价系统方程

线性定常系统的方程为

通过线性变换，，，，

于是转换后的系统方程为：

2）线性变换的基本特性

a、线性变换不改变系统特征值；b、线性变换不改变系统的传递函数矩阵。

3）化系统矩阵A为标准形

a、化A为对角阵；讲例1-8，1-9

b、化A为约当阵

例：

考虑由下式确定的系统：

试求其状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线标准形。

解：

能控标准形为：

能观测标准形为：

对角线标准形为：

讲例1-10化A为约旦型。

小结

本章介绍了状态空间描述和传递函数短阵描述。

介绍了从状态变量的定义、状态变量的选取到建立状态空间表达式的整个过程,对于线性定常系统，在初始松弛情况下，也可以来用传递函数矩阵描述。

这两种描述在系统分析和设计中都有应用。

至于采用何种描述，应视所研究的问题以及时这两种描述的熟悉程度而定。

一个系统，状态变量的数目是唯一的，而状态变量的选取是非唯一的。

选取不同助状态变量，建立的状态空间表达式亦异。

它们之间可以通过线性变换进行转换。

本章介绍了线性变换定义、基本持性以及应用变换的方法获得几种标准形。

线性变换的方法相当重要，本门课程很多章节中均要应用。

传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关，即系统状态变量的不同选择，传递函数（短阵）是不改变的。

第二章线性控制系统的运动分析

第一节线性定常系统齐次状态方程的解

状态转移矩阵（由定义求，由拉普拉斯变换求）

【教学目的】了解状态转移矩阵的基本概念及求法

【教学重点】状态转移矩阵的两种求法

【教学难点】由拉普拉斯变换求

【教学方法及手段】课堂教学

【课外作业】2.1

【学时分配】2学时

【教学内容】

1）齐次方程的解为；

2）状态转移矩阵的基本性质.P41

[例2．1]试求如下线性定常系统

的状态转移矩阵Ф（t）和状态转移矩阵的逆Ф-1（t）。

[解]对于该系统，

其状态转移矩阵由下式确定

由于

其逆矩阵为

因此

由于Ф-1（t）=Ф（-t），故可求得状态转移矩阵的逆为

第二节状态转移矩的求法（凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）

定理,对角线标准形与Jordan标准形法）

【教学目的】了解状态转移矩阵的另外两种求法

【教学重点】对角线标准形

【教学难点】凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）定理

【教学方法及手段】课堂教学

【课外作业】2.2，2.4

【学时分配】2学时

【教学内容】1）化eAt为A的有限项法（Caley-Hamilton定理法）；

2）对角线标准形与Jordan标准形法

例：

[解]该矩阵的特征方程为

因此，矩阵A有三个相重特征值λ=1。

可以证明，矩阵A也将具有三重特征向量（即有两个广义特征向量）。

易知，将矩阵A变换为Jordan标准形的变换矩阵为

矩阵P的逆为

注意到

可得=

例：

试用前面介绍的两种方法计算

[解]方法一由于A的特征值为0和-2（λ1=0，λ2=-2），故可求得所需的变换矩阵P为

P=

因此，由式（2.10）可得

方法二由于

可得

因此

第三节线性定常系统非齐次状态方程的解

第四节线性离散系统的运动分析

【教学目的】掌握线性定常系统非齐次状态方程的解及线性离散系统的运动分析

【教学重点】线性定常系统非齐次状态方程的解

【教学难点】线性离散系统的运动分析

【教学方法及手段】课堂教学

【课外作业】2.6，2.20

【学时分配】2学时

【教学内容】

给定线性定常系统非齐次状态方程为

Σ：

（2-28）

其中，，且初始条件为。

将方程（2.28）写为

在上式两边左乘e-At，可得

将上式由O积分到t，得

故可求出其解为

（2-31）

（2.32）

式中为系统的状态转移矩阵。

[例2.2]求下列系统的时间响应：

式中，u（t）为t=0时作用于系统的单位阶跃函数，即u（t）=1（t）。

[解]对该系统

状态转移矩阵已在前例中求得，即

因此，系统对单位阶跃输入的响应为：

或

如果初始状态为零，即X（0）=0,可将X（t）简化为

小结

本章对系统运动的分析是通过求系统方程的解来进行的。

状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程是矩阵代数方程。

因此，求系统方程的解的关键在于求状态方程的解。

线性系统方程曲解是借助状态转移矩阵来表示的。

本章介绍了状态转移矩阵的定义、基本性质和求解方法。

重点介绍了线性定常系统

状态转移矩阵的四种计算方法。

有了状态转移矩阵，就可以求出系统在初始状

态激励下的自由运动（齐次状态方程的解）以及在输入向量作用下的强迫运动（非齐次状态方程的解）。

应当指出，系统自由运动轨线的形态是由状态转移短阵决定的，也就是由A唯一决定的。

然而对一个系统来说，A是一定的，因此只有