版浙江《学业水平考试》数学知识清单与冲A训练15 平面向量的数量积 全国通用.docx

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版浙江《学业水平考试》数学知识清单与冲A训练15平面向量的数量积全国通用

知识点一　平面向量的数量积

定义

设两个非零向量a，b的夹角为θ，

则数量________________________叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝____________

投影

________________叫做向量a在b方向上的投影，________________叫做向量b在a方向上的投影

几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________________的乘积

特别提醒：

①两非零向量a＝，b＝，则a与b夹角为________，其范围是________；

②数量积是一个实数；

③零向量与任一向量的数量积为零．

知识点二　平面向量数量积的重要性质

对于非零向量a，b，

（1）e·a＝a·e＝________________，其中θ为a与e的夹角；

（2）a⊥b⇔________________；

（3）当a与b同向时，a·b＝________；

当a与b反向时，a·b＝________，

a·a＝________，|a|＝________；

（4）cosθ＝________________，其中θ为a与b的夹角；

（5）|a·b|________|a||b|.

知识点三　平面向量数量积满足的运算律

（1）a·b＝________；

（2）（λa）·b＝________________＝________________（λ为实数）；

（3）（a＋b）·c＝________________.

知识点四　平面向量数量积、模、夹角的坐标表示

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）．

（1）a·b＝________________.

（2）|a|＝________________或|a|2＝________.

（3）cosθ＝＝_________________________________________________________________.

知识点五　向量垂直的充要条件

设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔a·b＝0⇔________________（b，a为非零向量）．

知识点六　向量在平面几何中的应用

平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．

（1）证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：

a∥b⇔a＝λb（b≠0）⇔________________.

（2）证明垂直问题，常用数量积的运算性质

a⊥b⇔________________⇔________________.

（3）求夹角问题，利用夹角公式

cosθ＝________________＝________________________（θ为a与b的夹角）．

知识点七　平面向量在物理中的应用

（1）由于物理学中的力、速度、位移都是________，它们的分解与合成与向量的________________相似，可以用向量的知识来解决．

（2）物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ为F与s的夹角）．

例1　（2016年10月学考）设向量a＝（x－2,2），b＝（4，y），c＝（x，y），x，y∈R，若a⊥b，则|c|的最小值是（　　）

A.B.C.D.

例2　（2016年4月学考）已知平面向量a，b满足|a|＝，b＝e1＋λe2（λ∈R），其中e1，e2为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量a，b恒有|a－b|≥，则e1，e2夹角的最小值为（　　）

A.B.C.D.

例3　已知正三角形ABC的边长为1.设＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a的值为________．

例4　已知向量a，b，满足a·b＝2，且|a|＝1，|b|＝4，则向量a在向量b方向上的投影为________．

例5　已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则|a－b|＝________.

例6　（2015年10月学考）设a，b为平面向量，若a＝（1,0），b＝（3,4），则|a|＝________，a·b＝________.

例7　（2016年10月学考）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝2，若点P满足＝2，则·＝________.

例8　已知平面向量a＝（2，x），b＝（2，y），c＝（3，－4），且a∥c，b⊥c，求a与b的夹角．

例9　在△ABC中，点A（2，－1），B（3,2），C（－3，－1），AD为边BC上的高，求与点D的坐标．

一、选择题

1．设向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝，则a·b等于（　　）

A.B.C．3D．6

2．在△ABC中，＝a，＝b，a·b>0，则△ABC的形状为（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰直角三角形

3．已知向量a，b满足a＋b＝（1，－3），a－b＝（3,7），则a·b等于（　　）

A．－12B．－20C．12D．20

4．已知|a|＝1，b＝（0,2），a·b＝1，则向量a与b的夹角的大小为（　　）

A.B.C.D.

5．已知向量a，b满足|a|＝2，a·（b－a）＝－3，则b在a方向上的投影为（　　）

A.B．－C.D．－

6．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|等于（　　）

A．1B．3C．4D．5

7．已知向量m＝（λ＋1,1），n＝（λ＋2,2），若（m＋n）⊥（m－n），则λ等于（　　）

A．－4B．－3C．－2D．－1

8．设向量a＝（1,0），b＝（，），则下列结论正确的是（　　）

A．|a|＝|b|B．a·b＝

C．a∥bD．（a－b）⊥b

二、填空题

9．已知等边△ABC的边长为1，则·＋·＋·＝________.

10．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值是________．

11．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋（1－t）b，若b·c＝0，则t＝________.

12．在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝（－3,1），＝（－2，k），则实数k＝________.

答案精析

知识条目排查

知识点一

|a||b|cosθ　|a||b|cosθ　|a|cosθ

|b|cosθ　|b|cosθ　∠AOB　0，π]

知识点二

（1）|a|cosθ　

（2）a·b＝0　（3）|a||b|　－|a||b|　|a|2　　（4）　（5）≤

知识点三

（1）b·a

（2）λ（a·b）　a·（λb）　（3）a·c＋b·c

知识点四

（1）x1x2＋y1y2　

（2）　x2＋y2

（3）

知识点五

x1·x2＋y1·y2＝0

知识点六

（1）x1y2－x2y1＝0

（2）a·b＝0　x1x2＋y1y2＝0

（3）　

知识点七

（1）矢量　加法和减法

题型分类示例

例1　B

例2　B　∵|a－b|≥，

∴|a－b|≥|b|－|a|≥，

即|b|≥，

∴|e1＋λe2|2≥，

设e1与e2的夹角为θ，得

e＋2λ|e1||e2|cosθ＋λ2e≥，

∵|e1|＝|e2|＝1，则λ2＋（2cosθ）λ＋≥0，

∴Δ＝4cos2θ－4×≤0，

－≤cosθ≤，

∴θ的最小值为.]

例3　

解析　由题可知a，b之间的夹角为120°，

b，c之间的夹角为60°，a，c之间的夹角为60°，

所以a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos120°＋1×1×cos60°＋1×1×cos60°＝.

例4　

解析　向量a在向量b方向上的投影为|a|·cosθ＝＝.

例5　

解析　由已知|a＋b|＝4，

∴|a＋b|2＝42，

∴a2＋2a·b＋b2＝16.①

∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，

代入①式，得4＋2a·b＋9＝16，

得2a·b＝3.

又∵（a－b）2＝a2－2a·b＋b2

＝4－3＋9＝10，∴|a－b|＝.

例6　1　3

解析　|a|＝＝1，

a·b＝1×3＋0×4＝3.

例7　4

例8　解　∵a∥c，∴－8－3x＝0，

解得x＝－.

∵b⊥c，∴6－4y＝0，解得y＝.

∴a＝（2，－），b＝（2，）．

设a与b的夹角为θ，且θ∈0°，180°]，

则cosθ＝

＝＝0，

∴θ＝90°，即向量a与b的夹角为90°.

例9　解　设点D的坐标为（x，y），则＝（x－2，y＋1），＝（－6，－3），

＝（x－3，y－2），

∵点D在直线BC上，即，共线，

∴存在实数λ，使＝λ，

即（x－3，y－2）＝λ（－6，－3）．

∴得x－2y＋1＝0.①

又∵⊥，∴·＝0，

即（x－2，y＋1）·（－6，－3）＝0，

即2x＋y－3＝0.②

由①②，得x＝1，y＝1，

∴＝（－1,2），点D（1,1）．

考点专项训练

1．B

2．B　由题意知，a·b＝|a||b|cos（180°－B）

＝－|a||b|cosB>0，

即|a||b|cosB<0，

∴B为钝角，∴△ABC为钝角三角形．]

3．A　∵（a＋b）＋（a－b）＝2a＝（4,4），

∴a＝（2,2），∴b＝（a＋b）－a＝（－1，－5），

∴a·b＝2×（－1）－2×5＝－12.]

4．C　∵|a|＝1，b＝（0,2），a·b＝1，

∴cos〈a，b〉＝＝＝.

又∵〈a，b〉∈0，π]，

∴向量a与b的夹角的大小为.]

5．C

6．C　根据条件，（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2

＝9－3|b|＋|b|2＝13，

解得|b|＝4或|b|＝－1（舍去）．]

7．B　∵m＝（λ＋1,1），n＝（λ＋2,2）．

∴m＋n＝（2λ＋3,3），m－n＝（－1，－1）．

∵（m＋n）⊥（m－n），

∴（m＋n）·（m－n）＝0，

∴－（2λ＋3）－3＝0，解得λ＝－3.]

8．D　对于A，∵向量a＝（1,0），b＝（，）．

∴|a|＝1，|b|＝，故A错误；

对于B，a·b＝1×＋0×＝，故B错误；

对于C，∵1×－0×＝≠0，

∴a不平行于b，故C错误；

对于D，∵（a－b）·b＝（，－）·（，）

＝－＝0，

∴（a－b）⊥b，故D正确．]

9．－

解析　·＋·＋·

＝1×1×（－）＋1×1×（－）＋1×1×（－）

＝－.

10.

解析　∵|3e1＋4e2|2＝9e＋24e1·e2＋16e

＝9＋24×＋16＝37，

∴|3e1＋4e2|＝.

又∵（3e1＋4e2）·e1＝3e＋4e1·e2

＝3＋4×＝5，

∴cosθ＝＝.

11．2

解析　直接利用平面向量的数量积运算求解．

|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，

∵c＝ta＋（1－t）b，

∴b·c＝ta·b＋（1－t）b2

＝t×1×＋（1－t）×1＝＋1－t

＝1－.

∵b·c＝0，∴1－＝0，∴t＝2.

12．4

解析　

如图所示，由于＝（－3,1），＝（－2，k），

所以＝－＝（1，k－1），

在矩形中，由⊥，得·＝0，

所以（－3,1）·（1，k－1）＝0，

即－3×1＋1×（k－1）＝0.

解得k＝4.