届高考数学高考复习指导大二轮专题复习专题二 函数不等式导数 测试题2文档格式.docx

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C．y＝lnxD．y＝x2＋1

[解析]　由选项可知，B，C项均不是偶函数，故排除B，C；

A，D项是偶函数，但D项与x轴没有交点，即D项的函数不存在零点．故选A．

3．（文）函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象大致是（　A　）

[解析]　∵f（－x）＝ln[（－x）2＋1]＝ln（x2＋1）＝f（x），

∴f（x）是偶函数，排除C．∵x2＋1≥1，则ln（x2＋1）≥0，且当x＝0时f（0）＝0，所以排除B、D，选A．

（理）函数f（x）＝cosx（－π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　D　）

　　　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　D．

[解析]　因为f（－x）＝cosx＝－cosx＝－f（x），且函数定义域关于原点对称，故函数是奇函数，所以排除A，B；

取x＝π，则f（π）＝cosπ＝－<

0.故选D．

4．（2017·

天津卷，2）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋y的最大值为（　D　）

A．　　　B．1　　　

C．　　　D．3

[解析]　画出可行域，如图中阴影所示．

又目标函数z＝x＋y，

结合图象易知y＝－x＋z过（0,3）点时z取得最大值，

即zmax＝0＋3＝3．

故选D．

5．（2017·

江西八校联考）已知实数a、b，则“2a>

2b”是“log2a>

log2b”的（　B　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

[解析]　由y＝2x为增函数知，2a>

2b⇔a>

b；

由y＝log2x在（0，＋∞）上为增函数知，log2a>

log2b⇔a>

b>

0，∴a>

b⇒/a>

0，但a>

0⇒a>

b，故选B．

6．定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，且f（）＝0，则不等式f（logx）>

0的解集是（　C　）

A．（0，）B．（2，＋∞）

C．（0，）∪（2，＋∞）D．（，1）∪（2，＋∞）

[解析]　解法一：

∵偶函数f（x）在[0，＋∞）上为增函数，

∴f（x）在（－∞，0）上为减函数，

又f（）＝0，∴f（－）＝0，

由f（logx）>

0得，logx>

或logx<

－，

∴0<

或x>

2，故选C．

解法二：

∵f（x）为偶函数，∴f（logx）>

0化为f（|logx|）>

0，

∵f（）＝0，∴|logx|>

，∵f（x）在[0，＋∞）上为增函数，∴|log8x|>

，∴log8x>

或log8x<

∴x>

2或0<

．

7．（2017·

乌鲁木齐市诊断）已知a≥0，函数f（x）＝（x2－2ax）ex，若f（x）在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是（　C　）

A．0<

a<

B．<

C．a≥D．0<

当a＝1时，f（x）＝（x2－2x）ex，

f′（x）＝（2x－2）ex＋（x2－2x）ex＝ex（x2－2），

当－1≤x≤1时，x2－2<

0，∴f′（x）<

∴f（x）在[－1,1]上是单调减函数，故排除A、B、D，故选C．

f′（x）＝ex[x2＋2（1－a）x－2a]，

∵f（x）在[－1,1]上单调递减，

∴f′（x）≤0在[－1,1]上恒成立，

令g（x）＝x2＋2（1－a）x－2a，则

∴a≥．

8．（2017·

太原调研）设a∈R，函数f（x）＝ex＋a·

e－x的导函数f′（x）是奇函数，若曲线y＝f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（　D　）

A．－B．－ln2

C．D．ln2

[解析]　由于f′（x）＝ex－ae－x，故若f′（x）为奇函数，则必有f′（0）＝1－a＝0，解得a＝1，故f′（x）＝ex－e－x.设曲线上切点的横坐标为x0，则据题意得f′（x0）＝ex0－e－x0＝，解得ex0＝2，故切点横坐标x0＝ln2．

9．已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝（　B　）

A．3B．2

C．－2D．－3

[解析]　不等式组在直角坐标平面内所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．若z＝ax＋y的最大值为4，则最优解为x＝1，y＝1或者x＝2，y＝0.经检验知，x＝2，y＝0符合题意，此时a＝2；

x＝y＝1不合题意．故选B．

10．已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　D　）

A．（－∞，0]B．（－∞，1]

C．[－2,1]D．[－2,0]

[解析]　当x≤0时，f（x）＝－x2＋2x≤0恒成立，由|f（x）|≥ax得，x2－2x≥ax，整理得x2－（2＋a）x≥0，由于g（x）＝x2－（2＋a）x≥0恒成立，

因为g（0）＝0，所以－≥0，解得a≥－2，

x>

0时，由于|f（x）|>

0，若|f（x）|≥ax恒成立，满足ax≤0，同时满足以上两个条件－2≤a≤0．

11．已知函数f（x）满足：

①定义域为R；

②对任意x∈R，有f（x＋2）＝2f（x）；

③当x∈[－1,1]时，f（x）＝.若函数g（x）＝，则函数y＝f（x）－g（x）在区间[－5,5]上零点的个数是（　D　）

A．7B．8

C．9D．10

[解析]　如图，当x≤0时，y＝f（x）与y＝ex的图象有6个交点；

当x>

0时，y＝f（x）与y＝lnx的图象有4个交点．故选D．

12．函数f（x）的定义域是R，f（0）＝2，对任意x∈R，f（x）＋f′（x）>

1，则不等式ex·

f（x）>

ex＋1的解集为（　A　）

A．{x|x>

0}B．{x|x<

0}

C．{x|x<

－1或x>

1}D．{x|x<

－1或0<

1}

[解析]　构造函数g（x）＝ex·

f（x）－ex，因为g′（x）＝ex·

f（x）＋ex·

f′（x）－ex＝ex[f（x）＋f′（x）]－ex>

ex－ex＝0，所以g（x）＝ex·

f（x）－ex为R上的增函数．又因为g（0）＝e0·

f（0）－e0＝1，所以原不等式转化为g（x）>

g（0），解得x>

0．

13．已知函数f（x）＝且关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是__（1，＋∞）__.

[解析]　

因为方程f（x）＋x－a＝0有且仅有一个实根，

所以函数y＝f（x）与直线y＝－x＋a的图象有且仅有一个交点，画出函数y＝f（x）的图象可知，当a>

1时满足，

故a>

1．

14．（文）（2017·

青岛一模）若函数f（x）＝（a>

0，且a≠1）的值域是[4，＋∞），则实数a的取值范围是__（1,2]__.

[解析]　因为f（x）＝

所以当x≤2时，f（x）≥4；

又函数f（x）的值域为[4，＋∞），

所以

解得1<

a≤2，所以实数a的取值范围为（1,2]．

（理）dx＝__＋π__.

[解析]　根据积分的几何意义，由图可得dx＝＋π，故填＋π．

15．（2017·

沧州一模）函数f（x）＝的零点个数是__2__.

[解析]　分段函数分别在每一段上判断零点个数，单调函数的零点至多有一个．

当x≤0时，令x2－2＝0，

解得x＝－（正根舍去），

所以在（－∞，0]上有一个零点．

0时，f′（x）＝2＋>

0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

又因为f

（2）＝－2＋ln2<

f（3）＝ln3>

0，f

（2）·

f（3）<

所以f（x）在（2,3）内有一个零点．

综上，函数f（x）的零点个数为2．

16．已知f（x）为定义在[a－1,2a＋1]上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝ex＋1，则f（2x＋1）>

f（＋1）的解的取值范围是__[－1，－）__.

[解析]　函数为偶函数，满足－（a－1）＝2a＋1⇒a＝0，所以函数的定义域为[－1,1]，当x≥0时，f（x）＝ex＋1，所以函数f（x）在[0,1]上单调递增，所以f（2x＋1）>

f（＋1）满足f（|2x＋1|）>

f（|＋1|），所以不等式的解的取值范围是

解得－1≤x<

－．

17．已知函数f（x）＝x2＋（x≠0，a∈R）.

（1）判断函数f（x）的奇偶性；

（2）若f（x）在区间[2，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

[解析]　

（1）当a＝0时，f（x）＝x2（x≠0）为偶函数．

当a≠0时，f（－x）≠f（x），

f（－x）≠－f（x），

所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

（2）f′（x）＝2x－，要使f（x）在区间[2，＋∞）上是增函数，只需当x≥2时，f′（x）≥0恒成立，即2x－≥0，

则a≤2x3∈[16，＋∞）恒成立．

故若f（x）在区间[2，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围为（－∞，16]．

18．定义在（0，＋∞）上的函数f（x），对于任意的m，n∈（0，＋∞），都有f（mn）＝f（m）＋f（n）成立，当x>

1时，f（x）<

0.

（1）求证：

1是函数f（x）的零点；

（2）求证：

f（x）是（0，＋∞）上的减函数；

（3）当f

（2）＝时，解不等式f（ax＋4）>

[解析]　

（1）对于任意的正实数m，n都有f（mn）＝f（m）＋f（n）成立，所以令m＝n＝1，则f

（1）＝2f

（1），

所以f

（1）＝0，即1是函数f（x）的零点．

（2）设0<

x1<

x2，因为f（mn）＝f（m）＋f（n），

所以f（mn）－f（m）＝f（n），

所以f（x2）－f（x1）＝f（）．

因0<

x2，则>

1，而当x>

从而f（x2）<

f（x1），所以f（x）在（0，＋∞）上是减函数．

（3）因为f（4）＝f

（2）＋f

（2）＝1，

所以不等式f（ax＋4）>

1可以转化为f（ax＋4）>

f（4）．

因为f（x）在（0，＋∞）上是减函数，

所以0<

ax＋4<

4．

当a＝0时，解集为∅，

当a>

0时，－4<

ax<

0，即－<

解集为{x|－<

0}，

当a<

0，即0<

解集为{x|0<

－}．

19．（文）（2017·

全国卷Ⅱ，21）设函数f（x）＝（1－x2）ex.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≤ax＋1，求a的取值范围．

[解析]　

（1）f′（x）＝（1－2x－x2）ex．

令f′（x）＝0得x＝－1－或x＝－1＋．

当x∈（－∞，－1－）时，f′（x）<

0；

当x∈（－1－，－1＋）时，f′（x）>

当x∈（－1＋，＋∞）时，f′（x）<

所以f（x）在（－∞，－1－），（－1＋，＋∞）单调递减，在（－1－，－1＋