行测公式总结教学课资Word格式.docx
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多个量之间的比例关系
三、平均数
1.算术平均数:
算术平均数与各数之差的平方和最小
2.几何平均数:
3.加权平均数:
注:
两个不相等的数的平均数总是介于这两个数之间
4.十字交叉法:
主要用于解决两个部分的“平均值”混合形成一个新的平均值的问题。
如浓度、产量、价格、利润、增长率、速度等
a、b均为正数,,当且仅当a=b时等号成立;
a、b、c均为正数,,当且仅当a=b=c时等号成立
当两个正数的和一定时,它们越接近时乘积越大,当二者相等时乘积最大;
同理,当两个正数的积一定时,它们越接近时和越小,当二者相等时和最小。
四、不定方程:
奇偶性、尾数特点、互质性质
五、不等式:
不等式性质:
若,则
六、分段函数
七、数列
1.等差数列
通项公式:
(是首项,d是公差)
对称公式:
()
利用通项求和:
(是首项,d是公差)
(n为奇数)
利用中项求和:
(n为偶数)
对奇数列1,3,5,7,…,2n-1,其前n项的求和公式可简化为
对偶数列2,4,6,8,…,2n,其前n项的求和公式可简化为
若项数为奇数,则奇数项之和减去偶数项之和为中位数
2.等比数列
(是首项,q是公比)
,(q≠1)
求和公式:
(q=1)
平方数列求和公式:
立方数列求和公式:
斐波拉契数列:
,,
八、平面几何
1.相似与全等
相似:
对应角相等、对应边成比例;
全等:
SAS、AAS、SSS
2.三角不等式:
,
3.勾股定理:
4.公式
三角形周长面积
正方形周长面积
长方形周长面积
梯形面积
平行四边形面积
圆形周长面积
扇形面积
5.凸多边形内角和:
6.直线切割平面:
n条直线切割平面的区域数:
7.等周问题
平面图形中,周长一定,越趋近于圆,面积越大;
面积一定,越趋近于圆,周长越小。
表面积一定,越趋近于球,体积越大;
体积一定,越趋近于球,表面积越小
九、立体几何
1.公式
球形表面积体积
圆柱体表面积体积
圆锥表面积体积
2.正多面体
3.三视图
一十、解析几何圆的解析式:
一十一、实际应用:
1.正方形分割:
一个正方形可以分割为除2,3,5外任意数量的小正方形(大小可以不同)
2.蜂窝覆盖:
小圆对一定区域进行无缝隙的完全覆盖,蜂窝状排列时用到的小圆数量最少
3.立方体染色
一十二、基本行程问题
1.比例关系:
时间一定,路程与速度成正比;
速度一定,路程与时间成正比;
路程一定,速度与时间成反比
2.平均速度:
,当n=2,且时,
一十三、相遇问题
1.简单相遇问题:
2.直线多次相遇:
3.环线多次相遇:
一十四、追及问题
1.简单追及问题:
2.环线多次追及:
一十五、一些实际问题
1.青蛙爬井问题
若井深a米,青蛙每天向上爬b米,之后又滑下c米,则它爬出井口的天数为:
,(表示向上取整)
2.流水问题(船顺水、逆水行驶问题)
3.火车问题
1)火车过桥:
2)火车错车:
即
3)火车与人相对运动:
一十六、基本工程问题
时间一定,工作量与工作效率成正比
效率一定,工作量与工作时间成正比
工作量一定,工作效率与时间成反比
2.轮流工作:
轮流工作除了要计算每轮工作的效率(即几个人的效率和),还要注意最后一轮工作中每个人的实际工作量。
在计算工作效率时,工作总量应设为每个人单独完成用时的最小公倍数,这样能避免大量分式相加的计算。
3.合作:
合作效率一般是每个人效率的叠加,合作的重点是求效率和。
一十七、工程问题变形
1.水管问题
进水量、排水量工作量进水、排水速度工作效率
2.牛吃草问题
一十八、利润问题
1.收支计算:
利润来源于收入与支出之间的差额,因此收支计算最重要的就是有条理地分析清楚每一笔收入与支出,最后相加算得总利润。
2.利润率计算
3.折扣率计算
整体打折&
部分打折
部分商品打折求整体的折扣率,可用十字交叉法进行求解
一十九、容斥原理(文氏图)
1.二集合容斥原理:
2.三集合容斥原理:
二十、排列组合
1.加法原理:
体现分类讨论的思想。
分类相加。
2.乘法原理:
体现分步讨论的思想。
分步相乘。
3.排列与组合公式:
4.经典方法
ア)捆绑法:
排列时如要求几个元素相邻,则将它们捆绑起来视为一个整体参与排列,然后再考虑它们内部的排列情况。
イ)插空法:
排列时如要求几个元素不相邻,则相当于把不能相邻的元素插到其他元素形成的“空隙”中去。
ウ)插板法:
若要求把n个元素分成m堆,则把(m-1)个木板插入这n个元素形成的(n-1)个“空隙”中去。
与插空法的区别:
插空法有(n+1)个空可选;
插板法有(n-1)个空可选。
エ)归一法:
m个元素中的n个元素相对位置固定,把m个元素进行全排列。
n个元素的相对位置有种,排列数为种
オ)分析对立面
5.经典问题模型
1)环线排列:
任取一个元素作为队首,环线排列问题便转化为n-1个元素的直线排列问题。
n个人围成一个圈,不同的排列方式有种。
2)传球问题:
n个人相互传球,经过k次传球,球回到发球人手中的传球方式有种。
即,n个人经过k次传球,球回到发球人手上的传球方式有m种,m为第二接近的整数。
3)错位重排:
如,编号是1,2,…,n的封信,装入编号为1,2,…,n的n个信封,要求每封信和信封的编号不同,问有多少种装法?
记n封信的错位重拍数为,则,,,可知,n个数的错位重排数是(n-1)的倍数。
二十一、概率问题
1.等可能事件概率:
把事件空间分成n个等可能的情形(即所有可能的情况),事件A包括了其中的m个情形,则A发生的概率为
对任何一个随机事件而言,其发生的概率与其不发生的概率之和为1。
因此,当一个事件的概率不便正面求解时,可以先求其对立面,即它不发生的概率。
2.条件概率:
在事件B已经发生前提下事件A发生的概率称为条件概率,即在B条件下的概率
3.独立重复试验概率:
在相同条件下,将某实验重复进行n次,且每次试验中任何一事件的概率不受其他次试验结果的影响,这类试验称为n次独立重复试验。
若在一次试验中某事件发生的概率为p,则在n次独立重复试验中该事件恰好发生k次的概率为:
4.分类分步事件概率:
当一件事情可以分几种情况或按几个步骤完成时,可先计算每一种情况或每个步骤的概率,然后计算整个事件的概率。
二十二、抽屉原理:
如果要把n个物件分配到m个容器中,必有至少一个容器内容纳至少个物件。
1.构造抽屉:
核心是搞清题干条件哪个相当于鸽子,哪个相当于鸽笼。
在抽屉原理配对的过程中,鸽子比鸽笼多,因此,较多的就对应为鸽子,较少的就对应为鸽笼。
2.最差原则:
考虑所有可能情况中最不利于某件事情发生的情况。
二十三、数据分配
数据分配的过程分为两步,一是分组;
二是讨论组内数据离散性。
若数据可以相同,则各数相等离散性最差;
若数据不可以相同,则公差为1的等差数列离散性最差。
1.简单数据分配:
把总和一定的数据分为数量确定的几组,然后求最大的数据的最小值或最小数据的最大值。
2.复杂数据分配:
组内数据可相等、组数不确定(先按离散性讨论鸽笼数)、分组复杂(分成几组数据分别考虑)
二十四、运筹问题:
利用数学工具或数学思维寻找实际作业中的最优对策。
1.时间分配:
将逻辑上不冲突的事情同时进行。
2.黑夜过桥:
黑夜里多人过桥受桥宽度所限每次最多只能走两人,由于只有一盏灯,所以需要有人将灯送回。
两人过桥时,过桥时间等于其中单独过桥时间较长者。
如何使过桥总时间最短?
尽量让时间相近的两个人一起过桥,让对岸过桥时间最短的人把灯送回
3.空瓶换酒:
若规定A个空瓶可以换一瓶酒,有B个空瓶,最多可喝到C瓶酒,则,取整数部分。
4.任务分配:
在分配任务时要做到人尽其用,因此让“相对效率”高的人去做他擅长的事才能确保整体效率是最高的。
5.物资集中:
物资运输的费用通常是路程与货物重量的乘积,物资集中问题就是问把物资集中在哪一点时总运输费用最少。
应遵循如下原则:
路两侧物资总重量小的流向总重量大的。
6.线性规划:
线性规划求的是目标函数在线性约束条件下的极值,所以要先明确目标函数与线性约束条件,然后在可行区域内求目标函数最值。
目标函数:
目标(M)与相关因素(x,y)之间的函数关系为
线性约束条件:
二十五、其他题型
1.浓度问题:
注意饱和浓度
2.时钟问题:
1)钟面问题:
时针每分钟走30°
÷
60=0.5°
分针每分钟走360°
60=6°
两者差为
2)坏钟问题:
核心是“坏钟时间”与“标准时间”的比例关系
坏钟每小时比标准钟快n分钟,则
当坏钟显示过了x分钟时,标准时相当于过了
3.日期问题
ア)平年与闰年:
平年有52个星期零1天,则每过一年,星期数的变化加1。
闰年有52个星期又2天,比平年多出2月29日这一天,所以若经过的某段时间包含2月29日,星期数的变化加2。
イ)月历推断。
任意星期数的日期呈奇偶交替排列。
每个月任意星期数最少出现4次,最多出现5次。
只有每月1、2、3日对应的星期数可能出现5次。
大月每个月有31天,当月1、2、3日对应的星期数出现5次;
小月每个月有30天,当月1、2日对应的星期数出现5次;
闰年2月有29天,当月1日对应的星期数出现5次。
4.植树问题
闭合路线植树:
非闭合路线植树:
较复杂的植树问题还包括多种间距植树与特定点植树两类。
前者需要求出各种间距的重合点(即公约数),然后利用容斥原理计算棵树;
后者需要求出各段路长的最大公约数,以保证端点能够植树且每棵树间距相同。
5.方阵问题
1)实心方阵:
从内向外,每层每边人数依次增加2;
从内向外,每层人数依次增加8.
2)空心方阵:
空心方阵与实心方阵的区别是中间挖掉了一部分,求总人数一般用等差数列求和公式或平方差公式。
6.盈亏问题:
盈亏问题始于平均分配产生的余数,这个余数谓之盈数;
若不够分,则产生亏数,亏数是除数与余数的差。
盈亏问题中,物资和人数是不变量。
7.鸡兔同笼问题:
只知道头数和脚数便可由鸡兔的脚数差求得各自数量,本质上是一元二次方程组。
可使用假设法将其转化为盈亏问题。
假设全部是鸡(兔)会有多少脚,那么每次有一只鸡(兔)转化为兔(鸡),脚数会增加(减少)2。
根据假设的